CHAPITRE XI. — ÉTUDE DU RÉSEAU DE SÉRIES QUADRATIQUES. 3o

(y) et (z) étant correspondants sur P, et (u) étant le troisième élément commun à {yz) et à P, la polaire de (y) par rapport à la série F3 du réseau F qui admet (u) comme élément double contient (^), et par suite est (yz) : donc (y^) fait partie de cette série F3.

Pour déterminer l'élément tangent à H suivant (yz)^ considérons, comme au début de ce numéro, un second couple d'éléments correspondants {y'), {z') : soient [t) et [u) les éléments définis par les couples {yy'), {zz') et {yz'), {y'z)] soit, de plus, {id) l'élément commun à {yz) et (/^^'); les éléments {^u) el(u') sont conjugués harmoniques par rapport èi{ty) el{tz)^ comme on sait. Cette propriété subsistant quand (y') vient se confondre avec (y), et (i^^) devenant l'élément de contact cherché, on voit que celui-ci est le conjugué harmonique de (u) par rapport à (y) et (z).

Si (y) est inflexionnel sur P, {u) est confondu avec (z) et par suite (u^) aussi. Donc la série tangenlielle de II, soit P', du degré six, est tangente à P suivant les neuf éléments [z) qui correspondent aux neuf éléments infïexionnels (y) de P, et n'a pas d'autre élément commun avec P; les éléments tangents communs sont d'ailleurs les éléments (yz). Une proposition analogue s'énoncerait, résultant de la considération de la série II et de la série tangentielle 11^ de P. On peut aussi répéter tout ce qui précède en intervertissant le rôle des séries P et H. En particulier, on voit que les éléments (z), définis plus haut, appartiennent aux éléments infïexionnels de II, et que les éléments (yz) correspondent à ces éléments infïexionnels.

[y) et [z) étant correspondants et [u) ayant toujours la même signification que précédemment, soient (7^) et (7^^) les éléments qui constituent la série du réseau d'élément double (jy), (Ç) et (^^) les éléments analogues relatifs à (z)^ {y^) ^t (?) les éléments analogues relatifs à (w) : (y^) a en commun avec P deux éléments autres que (y), correspondants et conjugués harmoniques par rapport à {yz) et (?) par suite ; l'élément (?'/i) est donc tangent à II en ('f\). L'élément (?), tangent à P^, a donc encore en commun avec P^ les quatre éléments déterminés par (t)), (t)^), (Q, (Ç^).

289. Le réseau F contient une infinité de faisceaux obtenus en assujettissant les séries F à contenir un élément {y) fixe; les trois

An. — I. '^o

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3o6 LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

autres éléments communs aux séries du faisceau déterminé par (j/) sont dits associés à {y) : on obtient une correspondance spéciale et involutive, qui fait correspondre à chaque élément [y) chacun de ses trois associés.

Si (jk) est quelconque, le faisceau correspondant ne présente aucune particularité; les éléments associés de [y) appartiennent aux trois éléments de II contenant [y) et sont conjugués harmoniques de (jk) par rapport aux éléments correspondants de P appartenant à ces éléments. Si [y) appartient à P, les séries du faisceau sont tangentes en (jk) à (jK^), en conservant les notations précédentes; des trois éléments associés à (jk), l'^-in est [y) luimême, les deux autres appartiennent à P^ Si [y) appartient à P^, les séries du faisceau sont tangentes en un certain élément de P facile à déterminer d'après ce qui précède, et qui compte deux fois comme associé à {y). Si {y) est commun à P et P^ et, par suite, correspond à un élément inflexionnel de P, les séries du faisceau sont osculatrices en (j'), l'élément tangent commun étant {yz)] le quatrième élément commun à ces séries est cuspidal sur P^; donc, si [y) est cuspidal sur P^, les séries du faisceau sont encore osculatrices en un élément facile à déterminer.

Les mêmes remarques générales s'appliquent au réseau <ï> avec les modifications convenables.

290. Nous venons d^expliquer les principales propriétés géométriques d'un réseau de séries quadratiques : mais nous avons supposé que ce réseau était le plus général, et dans ce cas on s'assure facilement que l'une ou l'autre des séries P et II peut être considérée comme la plus générale de son espèce.

Nous allons maintenant étudier les cas particuliers qui peuvent se présenter : les propriétés générales énoncées précédemment s'appliquent encore à ces cas, avec des modifications évidentes, dont nous ne donnerons pas le détail.

Un calcul facile montre que si la série P a un élément multiple (^), ou bien cet élément est commun à toutes les séries F du réseau, ou bien il appartient à Line série F représentant deux fois un élément (^), et, de plus, il existe au moins une série F tangente à (;) en [x). Les propositions réciproques sont vraies.

Si (^x) est commun à toutes les séries F, (^x) compté deux fois

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