CHAPITRE XI. — ÉTUDE DU RÉSEAU DE SÉRIES QUADRATIQUES. Soy

appartient au réseau <î>; et réciproquement. De plus, on peut intervertir le rôle des séries F et <ï>.

Ceci posé, nous dirons d'un élément (x) qu'il est simplement singulier pour le réseau F, si toutes les séries F le contiennent sans y être tangentes; qu'il est doublement singulier, si toutes les séries F y sont tangentes, sans y être osculatrices; qu'il est triplement singulier, si toutes les séries F y sont osculatrices; enfin qu'il est quadriiplement singulier, s'il est singulier pour toutes les séries F. On ne peut faire d'autre hypothèse, car nous supposons essentiellement que les séries F ne forment pas un faisceau.

Quand (x) est singulier pour le réseau F, compté deux fois, il constitue une série du réseau <ï>. Si (x) est simplement singulier, les éléments communs à (x) et aux séries <ï> ne sont pas fixes tous les deux; si (x) est doublement singulier, ces éléments sont fixes, distincts ou confondus, suivant que les séries F n'ont pas un autre élément commun, ou en ont un ; et dans ce dernier cas, les séries ^, cjui sont toutes tangentes à (x) en un même élément, ne sont pas osculatrices; si (x) est triplement singulier, les séries <E> sont toutes tangentes à (x) en un même élément et sont osculatrices; enfin, si(^) est quadruplement singulier, (x) fait partie de toutes les séries ^.

Ces propositions se démontrent sans peine à l'aide d'un calcul très simple; leurs réciproques sont vraies.

Étant donné le réseau F, on exprimera qu'il a un élément singulier en écrivant le résultant des formes /, g, h et l'égalant à zéro : c'est le déterminant des coefficients dans /, g, h et les dérivées partielles de P.

Pour exprimer que <ï> a un élément singulier, on écrira que la forme F peut se réduire à un carré parfait, c'est-à-dire que la forme tangentielle de F peut devenir identiquement nulle. Si, entre les six équations qui expriment ce fait, on élimine linéairement les six quantités 'k^ et 'ki'kjy on obtient encore, égalé à zéro, un déterminant du sixième ordre et du quatrième degré par rapport aux coefficients de chacune des formes/, g, h,

291. L'énumération des dlfl^érents cas particuliers possibles est maintenant facile à faire.

3o8 LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

1° L'un des réseaux^ F par exemple, a un élément simplement singLilier (^).

La série P ne se décompose pas; elle admet [x) comme élément double, correspondant à lui-même ; les éléments tangents en x^ distincts, sont ceux qui constituent la série F d'élément multiple {x). La série 11 se compose de {x) et d'une série quadratique contenant les éléments tangents en [x) à P; la série tangentielle de cette série quadratique touche P en trois éléments, qui correspondent aux trois éléments inflexionnels de P.

La correspondance des éléments sur les séries Petilest, comme dans les cas suivants, facile à reconnaître.

2° L'un des réseaux, F par exemple, a deux éléments simplement singuliers [x) et {x').

La série P se compose de (xx^) et d'une série quadratique contenant (x) et (x^); les éléments tangents (^) et (^^) à cette série en (x) et (x') constituent avec (xx^) les séries F admettant (x) et (x^) comme éléments doubles.

La série II se compose de (x)^ {x') et {^^').

On observera dans ce cas que (x) et (x') sont associés à un élément quelconque (y); le troisième élément associé à (y) est lié à (y) par une inversion définie par {^^') et la série quadratique qui fait partie de P.

Des remarques analogues pourront être répétées pour c[uelques-uns des cas suivants.

3^ L'un des réseaux, F par exemple, a trois éléments simplement singuliers (nécessairement non alignés), (^), [x^) et (x^^).. La série P se compose de (x'x'^)j (x'^x)^ {xx'); la série II se compose de (^), {x'), i^'^)-

4"^ Les réseaux F et $ admettent chacun un élément simplement singulier; ces deux éléments (x) et(^) se contiennent nécessairement.

La série P se compose de ($) et d'une série quadratique tangente à (^) en (x) ; la série II se compose de (x) et d'une série quadratique tangente à (x) et (?). La série tangentielle de l'une de ces séries quadratiques touche encore l'autre.

5*^ Le réseau F, par exemple, admet deux éléments simplement singuliers [x) et {x')^ et le réseau <ï> admet un élément doublement singulier, nécessairement (xx').

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