I. — Premières définitions. — Les polaires

292. Considérons une série cubique de première espèce d'éqaation/= ax^=- o, où la forme/renfermanldix coefficients sera écrite

f = aix\ -h a^ccl-h a^^l + 3 «23^1 -^3 + 3 «32^3 ^2-1- 3 «31:^1^1 -h 3^13^^^ ^3+ 3ai2^i ^2-H 3a2i^|^iH- 6aa?lrr2^3• Nous supposerons la série indécomposable et, par suite, trois cas seulement se présentent :

1° La série y n'a pas d'élément multiple etj par suite, est de genre un; elle possède neuf éléments inflexionnels proprement dits. La série tangentielle co est du sixième degré, n'a pas d'éléments doubles ordinaires, ni éléments inflexionnels, mais possède neuf éléments cuspidaux, tangents à f en ses éléments inflexionnels.

2° La série /est rationnelle et possède un élément double ordinaire; elle admet alors trois éléments inflexionnels seulement. La série tangentielle est du quatrième degré et admet trois éléments cuspidaux, mais n'admet aucun élément double ordinaire ou infiexionnel.

3^ La série /est rationnelle et possède un élément cuspidal et, par suite, un seul élément inflexionnel.

La série tangentielle est alors du troisième degré, admet un élément cuspidal et un élément inflexionnel, et n'admet aucun élément double.

293. La seconde polaire d'un élément (y) par rapport à /, d'équation axy^''=- o, est une série linéaire. Si un élément (^) contient (j/) et a en commun avec / les éléments (<f), (^^) et (^^^), tandis que {x') est son élément commun avec la seconde polaire

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