I -H ( xytt' ) -f- ( ^j^/j5" ) = o
La première polaire de [y) contient les éléments de contact des éléments tangents à y menés par [y).
Si [x) appartient à la première polaire de (j/-), [y) appartient à la seconde polaire de [x).
Si [y) appartient à/, sa première polaire touche la deuxième et aussi y en (j/) ; c'est aussi le lieu du conjugué harmonique de [y) par rapport aux deux autres éléments que détermine sur/" chaque élément (^) contenant (^y).
Les premières polaires de tous les éléments [y) forment un réseau de séries quadratiques auquel on peut appliquer tout ce qui a été dit au Chapitre précédent.
La jacobienne de ce réseau est la série hessienne h ; la cajlejenne est une série cubique de seconde espèce y, qui sera définie par l'équation générale
ia
ia,i
ia
tl
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Mais on peut ajouter que la première polaire de [y) a un élément double (^), si-(j'') appartient lui-même à h] la première polaire de (^) a elle-même [y) comme élément double et, par suite, [y) et {z) sont correspondants sur h dans le réseau formé des premières polaires,
La caylejenne y, qui est le lieu des éléments {yz)^ est donc aussi la caylejenne de/", comme nous l'avons définie généralement pour une série de degré quelconque, tandis que la steinérienne de / coïncide avec sa liessienne.
Si [y) et {z) sont correspondants sur A, la polaire linéaire de l'un, (jk), est tangente à /i en (5).
Toutes ces propositions sont faciles à vérifier directement; la plupart d'entre elles résultent de propositions plus générales énoncées antérieurement.
Les premières polaires de tous les éléments [y) d'un même élément (^) forment un faisceau, et réciproquement.
Les séries décomposables de ce faisceau correspondent aux éléments communs à (^) et à /z; elles sont donc distinctes si (^) ne touche pas /z; les séries du faisceau sont simplement tangentes entre elles, si (^) touche A, sans être un élément tangent stationnaire; elles sont osculatrices, si cette dernière condition est réalisée. Quand les séries du faisceau sont tangentes entre elles, leur élément de contact [z) appartient à A, et leur élément tangent commun est (jK^), {y) correspondant à (^) et étant l'élément de contact de (^) et (A).
295. Considérons le cas où (^y) est commun à /* et à A, c'està-dire inflexionnel pour f] la polaire quadratique de [y) se compose alors de l'élément tangent (t)) à/ en (jk), et d'un élément (y)^), cjui, à cause de ses propriétés évidentes d'après ce qu'on a dit plus haut, est dit polaire harmonique de [y). Cette polaire contient les éléments de contact des trois éléments tangents à /autres que (t]) qui contiennent (7), L'élément {r^t]') ou [z) correspond à (^y) sur h\ mais l'élément tangent à h en [z) est (^'f\) : alors, d'après les propriétés des réseaux, on en conclut que les éléments inflexionnels {y) de/ sont aussi inflexionnels pour h\ que h touche les éléments tangents stationnaires (y]) de/ en des éléments [z) correspondant aux {y)] que ces éléments inflexionnels ('^) appar-
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