La première polaire de (y) est

a^^y — y^ {aixl-^ lax^X'i) ^ y^{a^^x\-^ lax-^Xi) -f-/3(<^3^1 H- ;2«^l^2)• L'éc[uation ax"-j= o, où Ton suppose les (y) ou les {x) donnés,

est le lieu des éléments [x) ou [y) dont la seconde ou la première

polaire contient [y) ou [x).

Prenons la forme tangentielle de aa)'^y par rapport aux {x)\ c'est

un invariant à deux séries de variables très intéressant

i>(7. l) = («2«3jK2y3— «^y!)^i -i-. . .+ 'ia{ay^y^— a^yiyc,,^^^ ,

Si (7) est donné, la série/? (jK, i) = o est le lieu des éléments (?) qui touchent la première polaire de {y)] le discriminant de cette série est h^{y) à un facteur numéric|ue près; elle touche (y) si l'on Si f(y)h{y) = o; d'ailleurs si h(y) = o^ elle représente deux fois l'élément {z) correspondant à (y) sur h.

Supposons maintenant (?) donné ; l'équation /?(jKj ?) = o définit une série quadratic[ue en (y). C'est le lieu des éléments dont la première polaire touche (?); c'est aussi l'enveloppe des secondes

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polaires des différents éléments de (i); c'est aussi le lieu des pôles de (^) par rapport aux premières polaires des différents éléments de (^), car, en cherchant ce lieu, on est conduit aux mêmes calculs que précédemment, à cause de l'identité des dérivées partielles de ax^-y et a^y"- par rapport aux (^) et aux (j/). On démontre aisément, d'après les propriétés des polaires et celles du hessien d'une forme cubique binaire, que les éléments communs à (^) et à la série ^(j^, ^) =: o forment un rapport équianharmonique avec les éléments communs à (i) et à/.

De plus, il est visible que la série /?(jK, ^) == o touche la hessienne h en trois éléments qui correspondent aux éléments communs à (^) et A, puisqu'elle ne peut avoir avec h d'autres éléments communs que ceux dont la première polaire a un élément double appartenant à (^).

Si les éléments (jk)> (^)j (^) sont alignés et appartiennent à y, et s'il en est de même de (jk), (^0' (^0 ? ^^^ ^^ plus, (^ii) et (^/^) sont les éléments communs à la première polaire de (j^) et à {^zt^ et {z' t')^ la propriété de cette polaire, quand [y) appartient à fy montre tout de suite que {zz')^ {^^')y {uu') sont trois éléments alignés en (V) par exemple, et que les deux premiers sont conjugués harmoniques par rapport au troisième et à {y^)- Cette propriété subsiste si les éléments (^zt) eii^z' t') viennent à se confondre et fournit un théorème facile à énoncer. Appliquant ce théorème et regardant/) (y, ^) =r o comme le lieu des pôles de (^) par rapport aux premières polaires des éléments de (Ç), et aussi comme l'enveloppe des secondes polaires de ces éléments, on voit que cette série touche les éléments tangents (t), (t^), (V^) à/ suivant les éléments communs (^), [t')^ {t") kf et à (Ç), et que l'élément de contact avec (t), par exemple, est conjugué harmonique de (t) par rapport à (V) et (t'^).

Le discriminant de /?(jK, ç) par rapport aux (y) esty2(^) : d'ailleurs, si (^) appartient à la cayleyenne y, (?) constitue avec un autre élément (tj) la première polaire d'un élément (^), que contiendra la seconde polaire de tout élément de (ç). La condition pour que l'élément (?) touche la série p(y^ ?) == o est évidemment cp(?) = o.

30S. Considérons la forme p{y, ?) où (y) est donné, et la