On peut choisir comme invariants fondamentaux i, j\ f

h, k, Y, £, cp.

Pour abréger l'écriture, soit

jn = a^a^x'ixl -H a^aixlxl 4- a^ a^x'l xl, n — Xl Xl x^ ;

A — ci^a^^l ■+- a^cii^l -\- aia2^l,

on a

i=z a(k — a^), j == A2— 2oAa3 8a<5;

f — l -Y- 6 an,

h =z — a^l -i- (A -^ ia^)n,

/c = 3 «3 ( A H- 2 a3 ) Z2 — a/ In — 3 a'-jn^- — ( A -i- 8 a^ y m ;

Y — a X -}- ( A — 4 <^^^ ) ''' 1 s — (A — ioa-^)X — 6a2(5 A -4- 4«^^)'^ o = X2— !24a2Xv — 24a(A -i-2a"^)v2— ^(^Ps. 4- 8a^ p-. An. — L

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A ces invariants nous pouvons joindre les jacobiens /^ et p des formes/, /z, k et y, s, cp. On a exactement

Donc les équations 7^ = 0 et p=o représentent les polaires harmoniques des éléments inflexionnels de/, et ces éléments euxmêmes.

Les carrés de r et p s'expriment aisément en fonction des invariants fondamentaux; en effet, on peut regarder a,^J, ao^î!, a^ix\ comme les racines de l'équation

et /, 7?2, n s'expriment à l'aide de/ A, k.

De même a^a'^\\^ a'^a^ ^^î ^^1 <^f^2^l sont racines de l'équation

X3 — X X2 -f- A ÎJ.X — A"2 v3 z= o. Nous reviendrons d'ailleurs sur cette question un peu plus loin.

307. Les séries / A, y, s mènent, par des procédés analogues aux précédents, à bien d'autres invariants qui s'expriment à l'aide des invariants fondamentaux; c'est ainsi que l'on peut chercher le lieu des éléments dont la polaire linéaire par rapport à /ou h est tangente à la polaire quadratique du même élément par rapport à h ou/ etc.

Cherchons encore, pour montrer l'usage des invariants, l'équation des éléments tangents stationnaires (ri) à /

On trouve sans peine, en se servant des formules canoniques, que ceux de ces éléments qui correspondent aux éléments inflexionnels pour lesquels x^ = o, ont pour équation

^ AH-8a3 / j^ a^x'i^ o.

L'équation cherchée est donc

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