IV. — La réduction à la forme canonique

308. La connaissance des invariants fondamentaux d'une forme cubique / permet sa réduction à la forme canonique d'une façon simple.

Nous garderons les notations précédentes pour la forme canonique, et nous prendrons les mêmes lettres affectées de l'indice zéro pour désigner les invariants correspondants, tels que le calcul les donne directement en partant de la forme donnée /o-

On a d'abord

d'où, posant

l'équation en

il (p-l)3

Faisant 4|^ = J^^ et prenant arbitrairement la détermination de J,

une fois pour toutes, puis remplaçant p par i + -.-^5 on est amené à l'équation biquadratique

Si i' elf sont les invariants du premier membre de cette équation considéré comme forme binaire, après rétablissement de l'homogénéité, on a

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la résolution est alors immédiate, et donne

w étant une racine cubique imaginaire de l'unité, et les trois radicaux carrés ayant pour produit — J.

Les formules canoniques donnent

, (X-^ia^) f—6ah a^f-\-h ^ ^^ ; r^ — z ' ^ ^^ 1 n — ~i^

'^^ ~ ' (A-i-8aS)2 ^

de plus, si S est le déterminant de la substitution qui permet de passer des (^^o^) aux {x')j on a

on en tire

et, par suite,

^2 ..2^oJ

3À2~hi 6X f'oJ

. „ X(X2H-i) / ^'oJ y

X2(3X2-+-2) ,, X(3X2 + I) i'oJ . ,

''^= (9X2+1)2 ^^-(9X2+ir- 7^-^^^^

3X2 ^ X Jkp

"^(9X2+1)2,-, (^XM^X*

Les quantités aix^ sont les racines de Péquation

X3 — / X2 -f- m X — A /i3 = o ; si l'on trouve

on aura, pour déterminer ^/,

les a/ sont arbitraires, et l'on a