CHAPITRE XTI. — LA SÉRIE CURIQUE

deux éléments fixes, et que O3 et O2 soient les éléments tangents correspondants, de sorte que

fz= aix\-\- 3^23 ^2 ^3 ■+• 3 «32 ^1^72+ 3ai3^f ^3 -H 3^12^1 ^2 -H ^axix^x^ ;

écrivons que \^X\-]-\2^z=- o el \kxœ ^ -\- ^^2^2=^ ^ ont en commun un élément de/*; il vient

O = ^ == 3(^32X1 [^11^2+ a23XiX2[JLf ) H- 3(ai3XiX2[JL|+ «12X1 [Jli p.2)

— 6^*^X1X2 [J-1 fX2 — aiX| |Ji|.

Le théorème relatif à la constance du rapport anharmonique des quatre éléments tangents à f contenant un élément donné de/, résulte alors immédiatement des propriétés de la forme doublement quadratique.

Sans insister davantage, remarquons que l'on peut appliquer la théorie des n°^ HO, IH et H2 à cette représentation. Si l'on considère, comme au n° 112, la relation doublement quadratique symétrique qui lie les deux valeurs de (X) correspondant à une même valeur de ([jl), l'invariant m^ du n° 110, relatif à cette forme, égalé à zéro, exprime que l'on peut trouver une suite proprement dite de 2/2 + 2 éléments, inscrite à /, et telle que les éléments de seconde espèce de cette suite, pris de deux en deux, contiennent les uns l'élément O2, les autres O3.

11 y a alors une infinité simple de telles suites.

Si 72 = I , la forme dont nous venons de parler doit être un carré parfait, pour qu'il existe des suites de quatre éléments jouissant de la propriété précédente. Donc il faut que l'invariant ^3 de la forme g soit nul; or, ici,

la condition i^-= o revient donc, en supposant que O2 ou O3 n'est pas multiple pour/', à a^ = o; les éléments tangents à /en O2 et O3 ont en commun un nouvel élément de/: O2 et O3 sont correspondants sur/, comme il était facile de le prévoir.

Si O2 et O3 sont inflexionnels, on vérifie sans peine que cl)2 = o.

319. Envisageons une suite de 2/2 éléments, A^ B^ A2B2 ... A/^B/,, inscrite à/et telle que A^ B^, A2B2, ... d'une part, Bi A2, B2 A3, ... d'autre part, contiennent deux éléments fixes de /, Ci et G«. Il

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est facile de voir* que, de mêmej les éléments A^ By^, A2By^^iy ■^3^k+2j ' • • contiennent un élément fixe G/f de / : en effet, la série cubique /, celle formée par A^ B^^ B, AsG/^, A^^^ B/^^^ Ci , et celle formée par A2B/f^,, A^B,G,, B/^A/,^, G/i ont en commun huit éléments et, par suite, un neuvième élément qui est précisément Ga.

Si nous disons de deux éléments tels que G| et C^ qu'ils sont correspondants pour le nombre n, on voit tout de suite que deux quelconques des éléments G/ sont aussi correspondants pour le nombre n ou l'un de ses diviseurs : s'il s'agit de G^ et de Ga par exemple, il suffit, pour vérifier l'assertion précédente, d'envisager la suite Ai B^ Aa a^i B^2h-k^2h-2k-{.\ Bs/^-A . . . , chaque indice étant remplacé par son plus petit reste positif par rapporta n. On verra aussi que les A/ ou les B/ jouent par rapport aux B/ et G/ ou A^ et d le même rôle que les G/ par rapport aux A/ et B/.

Si A, et B| , A2 et B2 sont deux couples d'éléments correspondants pour le nombre /z, et si AjAs, BiBs ont encore A3 et B3 communs avec /, A3 et B3 forment aussi un couple d'éléments correspondants pour le nombre n ou l'un de ses diviseurs. Gonsidérons, en effet, une suite 0^1) ^ G2D2G3D3 . . . correspondant au premier couple, et une suite G'^ D', G'^D^G'^Dy . . . correspondant au second couple; soient G'^ et D^- les troisièmes éléments communs à y* et à G/G'^- et D/D'^-, et envisageons la suite G'^D^' G'^D^ G3D3 . . . ; d'après un théorème connu, les éléments C'ID'[^ Cl^li '-• d'une part, D'|G!,, D^Gg, ... contiendront respectivement A3 et B3, ce qui démontre la proposition. En particulier, on peut supposer que A2 et B2 coïncident en un élément quelconque de /.

On peut supposer encore que A, et A2 coïncident ainsi que B^ et Bo. Réciproquement, on- démontrera alors d'une façon analogue que si A^ et B^ sont correspondants pour le nombre n, et sont les éléments tangentiels de A2 et B2, ceux-ci sont eux-mêmes correspondants pour le nombre 2n ou l'un de ses diviseurs.