CHAPITRE XII. — Ll SÉRIE CURIQUE

tailler, aux séries particulières douées d'un élément multiple^ ou séries rationnelles.

Nous allons insister sur les propriétés particulières à ces séries. Si d'abord il s'agit d'une série cubique avec élément double ordinaire, à éléments tangents distincts, ou peut lui appliquer la forme canonique générale, avec a^ = o par exemple. Si donc

on aura

î = — Toa3a2a3^f — 24«^^1^2 t-i; i — — a''; j ~ — 8a^.

La forme canonique est possible d'une seule façon.

Pour déterminer l'élément double, on remarquera la relation

3y Y — 4 t's = — 64 a' eu «3 i \ ;

/ est la hessienne d'une seule autre série cubique et, par suite, la jacobienne d'un seul réseau, etc.

Supposons maintenant que /soit une série à élément cuspidal. Une forme canonique immédiate est

f =: ai X\ ^- 3 <^23 ^2 ^3 5

O3 est l'élément cuspidal, avec Q2 comme élément tangent; O2 est l'élément inflexionnel, avec O3 comme élément tangent. On a ici

£ r= aa? «2 3 ^1 ; l = o, / — o.

/ n'est la hessienne d'aucune série .et, par suite, la jacobienne d'aucun réseau, etc.

321. D'après ce qui précède, 64 ^'^ 4-7*^=0 est la condition pour que /ait un élément multiple; i =: o ety = o sont les deux conditions pour que cet élément multiple soit cuspidal.

Donnons encore les conditions invariantes qui expriment que la série /se décompose d'une façon déterminée.

Si /se compose d'une série quadratique et d'une série linéaire

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non tangentes, la forme canonique générale subsiste avec

par exemple. On a

L'invariant Syy — /\iî,^ ou plutôt p, ou encore r, est nul identiquement.

Si /'se compose d'une série quadratique et d'une série linéaire tangentes, on peut prendre

y — Za^iXixl H- 3ai3a72^3, et l'on a

A r= «21^13^1? Y — - <^^1 1 <^13^ii5 t = O, 7=0.

L'invariant £ est nul identiquement.

Si y se décompose en trois éléments de seconde espèce non alignés, on peut encore appliquer la forme canonique générale :

f — Çyaxix^x-^^ h — la^XiXiX-^^ Y — — 4<^^^i$2s35

L'invariant y/ — 2/\i/i^ ou plutôt le jacobien de/, A et (Ç|.^), est nul identiquement.

Si/ se décompose en trois éléments alignés, h est nul identiquement, comme on le vérifie sans peine; si deux de ces éléments coïncident, cp est nul identiquement; s'ils coïncident tous trois, la forme /?(jKî ?)? définie antérieurement, est nulle identiquement.

322. Nous allons maintenant étudier la série cubique rationnelle définie par des formules de la forme

les fi étant des formes cubiques binaires par rapport aux (a); cette étude revient à celle de la forme

g- = hfl(^U >^2)H-?2/2(>^l, ^2)-(-b/3(>^l, >^2).

Nous emploierons tout de suite une forme canonique de cette représentation, fournie par les formes canoniques du n° 320.

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