CHAPITRE XIII. — LA FORME TRILINÉAIRE
suite, son étude, qui mènerait aux résultats précédents, demanderait de nouveanx calculs en général.
On a un nouveau réseau invariant d'espèce opposée à F, correspondant à
Si l'on fait la somme des produits obtenus en multipliant chaque coefficient de F par le coefficient correspondant de ^, on obtient un invariant proprement dit, dont la valeur est, au facteur 3 près,
A j (ai k + X 1 [M (— 1296 i) -1- Xi [^-3 (— 1080 ik — 972/) -4- X2 lUH x /c'^ — 432 i)
-h X2 [m{ — 1080 f'A- — 9727) -h X2 [JL3( — 864 ik- — i458y7c -4- 139968^2) -f- X3 p-i (— 86 i ik — 19447 ) + ^^3 [^2 (— 97 V^^ -I- 1399680^^) + X3 [J.3 (— 648/7i:2 H- 1 166400 i^- k -f- 1469664 ij)-
Si l'on se donne une forme F par exemple, on voit qu'il existe un faisceau de fonnes <ï> telles que, pour chacune de ces formes et la forme F, l'invariant précédent soit nul; ces formes <î> peuvent être dites conjuguées de F.
Les réciprocités définies par ces formes $ entre les espaces Y et Z, quand (^) est considéré comme donné quelconque, forment un système cinq fois infini; chacune d'elles est conjuguée des réciprocités entre les mêmes espaces définies par la forme F, c'est-à-dire que si l'on pose
l'invariant Y^aija.ij est nul. Les réciprocités <î> ainsi définies sont d'ailleurs les seules qui soient conjuguées de la réciprocité F.
Les séries cubiques qui résultent des formes F et $ comme g^^ gi-, gz résultent de /, appartiennent toutes aux faisceaux déterminés par ces dernières et leurs hessiennes.
331. Supposons les espaces Y et Z coïncidants, et les éléments (jk) et (s) de même espèce. Les invariants précédemment définis gardent leur sens; mais il faut en ajouter d'autres, que nous ne calculerons pas, et qui seront les invariants simultanés des séries cubiques g^ et ^3, qui ne peuvent plus être supposées réduites simultanément à la forme canonique.
Il j aura lieu aussi de considérer le réseau de séries quadratiques obtenu en faisant dans /* les (jk) égaux aux (^); le lieu de l'élé-
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348 LIVRE II. — LA géométriiî: ternaire.
ment (j>'-s), quand (y) et (^) se correspondent sur g.y ^^ ffs'? • » • • Si les éléments (y) et (^) sont d'espèce opposée, nous remplacerons les (z) par les' (^), et inversement. La forme/ définit alors nn réseau d'homographies dans les espaces coïncidants Y et Z-, la série g2 est le lieu des {y) tels cjue leurs correspondants dans toutes ces homographies soient alignés sur un élément ((^)j dont le lieu est la série g^. En particulier, Tune des homographies du réseau peut être la correspondance identique définie par (jK | Q 5 on est alors ramené au cas d^un faisceau d'homographies ordinaires.
332. Revenons au premier cas, les éléments (y) et (z) étant de même nature, et supposons la forme f symétrique par rapport aux (y) et aux (z). La forme canonique employée précédemment subsiste alors, avec les hypothèses 6|=:C,, 60^=^2, ^3=03.
On est ramené à une nouvelle étude d'un réseau de séries quadratiques, dont la jacobienne est la série g2 ou g^i.
Les invariants k, i et y ne sont plus distincts. En gardant
k = a2— 2oa;3 — 8|32, et faisant
on a
On remarquera que
La forme f'^ n'est pas distincte des formes f e^f^? et à celle-ci nous substituerons
On a aussi
et laissant de côté o'^ , nous ferons
cp;^ î^:^ =.(:c^3)2[6^3}. +(a-4p)(t^ + v)].
