CHAPITRE XIV. — LA SÉRIE QUARTIQUE. SÔÇ

correspondront des séries quadruplement tangentes à /, mais avec deux éléments de contact confondus; ces éléments de contact seront d'ailleurs les douze éléments communs à/ et -à y.

Les séries q ei k ont six éléments communs; à ces six éléments correspondent six couples d'éléments (i) bitangents à/. Si Ton applique à ces couples les propositions générales connues, on verra, en particulier, que si [a) et {b), (c) et (d) sont les éléments de contact de deux éléments bitangents d'un même couple, les six éléments (ab), (cd), (ac)^ (^<^0? (^^^^^ (^^) appartiennent à Y, et que les trois éléments [(ab){cd)]^ [{ac){bd)]^ [(ad)(bc)] appartiennent ày; que les huit éléments de contact des éléments bitangents de deux couples appartiennent à une même série F; et, puisqu'il y a six couples, il J a quinze telles séries F.

En appliquant les théorèmes de Pascal et de Brianchon à la suite formée par les éléments (y) qui correspondent aux couples d'éléments bitangents à / et à leurs groupes d'éléments de contact, on trouvera de nouvelles propriétés faciles à énoncer.

Si (a 1 œ) el{cfJ\ x), (p j ^) et (P'| x) forment deux couples d'éléments bitangents à/, et si /^ est la série qui contient leurs éléments de contact, on peut écrire /sous la forme

340. Une série quartique admet, d'une façon générale, 28 éléments bitangents, qui forment par suite 878 couples. Chacun de ces couples détermine une façon de représenter / comme une enveloppe de séries quadratiques, et comme chacune de ces façons détermine elle-même six couples, on voit qu'il existe en tout 63 telles façons. Il existe, en d'autres termes, 63 systèmes de séries quadratiques quadruplement tangentes a f,

Si(a|^)et(a/|^), ([^ |x) et(|3^| ^) sont deux couples d'éléments bitangents appartenant à un même système, l'équation écrite cidessus montre que (oc|^) et (^|^), (a'|^) et (|B^|^) forment encore deux couples appartenant à un même système autre que le précédent, et qu'il en est de même de (a| œ) et (p'|^), (a^| 00) et (Pl^). On en conclut qu'il existe en tout 3i5 séries quadratiques conten-ant les huit éléments de contact de deux couples d'éléments bitangents.

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36o LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

341. Désignons par a el a^, ^ et 3^, y et y' trois couples d'éléments bitang-ents d'un même sj^stème, et par les mêmes lettres, afin d'abréger les notations, les premiers membres

de leurs équations. L'équation de/ sera alors de la forme

a^ «2 a'2 H- 62 p2 P'2 i ^2 .^2 .^'2 ^ 6c p^' yy' — 2 ca yy ««' — 2 aè aa' p^' = o.

Soient Y) et 7]^ un couple de deux éléments bitangents appartenant au sjstème a[3^, a^ji, de sorte que l'équation de / pourra encore s'écrire

— 1 b' c' a.^ ^r]r/ — ic' a'riv/ a^' — 'la' b' a^' a' ^ = o. Les équations précédentes peuvent être mises sous la forme

(rz'a^'-;- b' a' ^ ■ — c''r]r/)2 — 4 <^'6'aa'P(3' -- o, et, par suite, on a identiquement

\^a' b'{aacc' -+- b^^' — cyy') — \/ab(a' a^' -i- b' a' ^ — c'-firi') = o, OU bien

(a yaa'-r~ ^ ybb'j \a! sj ab' -\- ^yaJb) = yy c \/ a' b' -\- r{rî c'y ab.

D'après cela, on voit que y et t,, par exemple, ne peuvent coïncider; car si cela était, l'équation de y serait ay/aa-f- [3 y//;6'= o ou bien a! \jl ab -\- ^' sjct' b ^=^0^ et il est évident que /' aurait un élément double, ce que nous ne supposons pas.

Ceci posé, on voit encore sur l'équation précédente que les éléments des deux couples (yv)) et (y^r/), (yr/) et(y^y]) appartiennent les uns à l'élément d'équation (j.\Jaa! -\- ^\jbU ^:=^ o, et les autres à

celui d'équation a' \/''a6' 4- I^V^^^^ "^^ ^ * ^^^ d'autres termes^ (^P)-' (yri), (y^v]^) par exemple sont alignés, et il en est de même de (a'P'),

(tV)/(t'-^)-,

342. Soient aa', p^^, yy^ SS', es^ ^Q^ ^ lessix couples d'éléments

tangents d'un môme svstème.

L^es systèmes déterminés par a|^'eta'p, a^ et a'^', d'après ce