CHAPITRE :XIV. — LA SÉRIE QUARTIQUE. 3y

i^ Trois systèmes de séries quadratiques quadruplement tangentes à/; Tun d'eux contient les couples aa deux fois, ^^ deux fois, [J.[x^ et vv^; le réseau correspondant est de l'espèce (c) ou (<i); la série q contient deux éléments doubles de k]

2° Douze systèmes, comptant chacun quatre fois, de séries doublement tangentes à /", et contenant deux éléments doubles de /; les couples de l'un des systèmes sont av deux fois, x^ deux fois, r|[ji, T^v; le réseau correspondant est de l'espèce (/) ou (y); la série q est doublement tangente à la série quadratique qui fait partie de k.

3dd. Une série quartique composée d'une série cubique à élément double et d'une série linéaire, a quatre éléments doubles dont trois sont alignés; elle est de l'espèce (M). Elle a un élément bitangent triplement singulier comptant quatre fois, trois éléments bitangents doublement singuliers comptant quatre fois, et six éléments bitangents singuliers comptant deux fois. On passe du cas (G) à celui-ci en faisant coïncider ^ et iz, ^, et [j/, v et v^

Outre quatre systèmes qui disparaissent, il existe :

1° Trois systèmes de séries quadratiques quadruplement tangentes à /; l'un d'eux contient les couples yy, xX, |j.v, chacun deux fois; le réseau correspondant est de l'espèce (^), et la série q, doublement tangente kk, contient en outre l'élément double de A- ;

2" Quatre systèmes, comptant chacun deux fois, de séries quadratiques triplement tangentes à /* et contenant l'élément double de la série cubique qui fait partie de /; les couples de l'un de ces systèmes sont ys, r^x, '/^X, chacun deux fois; le réseau correspondant est de l'espèce (^)., et la série q est trois fois tangente à k;

3° Six systèmes, comptant chacun quatre fois, de séries cjuadratiques doublement tangentes à f, et contenant deux des éléments doubles alignés de /'; les couples de l'un de ces systèmes sont as deux fois, r^l deux fois, x[ji, Xv ; le réseau correspondant est de l'espèce (/) ou (y), la série q étant tangente à la fois à la série quadratique et à la série linéaire qui constituent k;

4^ Trois systèmes, comptant chacun huit fois, de séries quadratiques tangentes à /, contenant l'élément double de la série cubique qui fait partie de/, et deux des éléments doubles alignés de y ; les couples d'un de ces systèmes sont ay deux fois, *op-9 "^v.

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x^, 7.^; le réseau correspondant est de l'espèce (g), la série q étant tangente à k.

356. On obtiendra l'espèce (N) en supposant que la série cubique du numéro précédent a un élément cuspidal; alors / a un élément bitangent triplement singulier, comptant quatre fois ; trois éléments bitangents doublement singuliers comptant six fois, et trois éléments bitangents singuliers comptant deux fois. On passe du cas (H) à celui-ci en faisant coïncider ^ et tî, jj. et u/.

On a, outre six systèmes qui disparaissent :

1° Trois systèmes, comptant trois fois, de séries quadratiques triplement tangentes à/, et contenant l'élément cuspidal; les couples de l'un d'eux sont yy, t,x, ^ij., chacun deux fois; le réseau correspondant est de l'espèce (/i), la série q contenant l'élément double de A" et étant doublement tangente k k;

2° Trois systèmes, comptant quatre fois, de séries quadratiques doublement tangentes à f, et contenant deux éléments doubles de/; les couples de l'un d'eux sont as deux fois, r^ trois fois, xa; le réseau correspondant est de l'espèce (/) ou (y), la série q étant osculatrice à la série quadratique qui fait partie de /:, et tangente à la série linéaire qui complète /f ;

3° Trois systèmes, comptant douze fois, de séries quadratiques tangentes à / et contenant, outre l'élément cuspidal, deux éléments doubles; les couples de l'un de ces systèmes sont ay deux fois, ri^ deux fois, viui, x^ ; le réseau correspondant est de l'espèce (g)] la série q contient un élément double de k et est tangente k k.

357. Une série quartique de l'espèce (O), à cinq éléments doubles, se compose d'une série quadratique et de deux séries linéaires; elle admet deux éléments bitangents triplement singuliers, quatre doublement singuliers et deux singuliers, chacun d'eux comptant quatre fois, sauf les deux derniers qui ne comptent que deux fois. On déduit ce cas du cas (L) en faisant coïncider |j. et [Ji^, V et V'.

On trouve, outre les cinq systèmes qui disparaissent, et celui,

comptant huit fois, qui ne correspond pas à un réseau déterminé :

1° Deux sj^stèmes de séries quadratiques quadruplement tan-

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CFIAPITRE XIV. — LA SÉRIE QUARTIQUE. 877

gentes à /; les couples d'un des systèmes sont yv, xx, p.v deux fois; le réseau correspondant est de l'espèce (c)^ la série q contenant les éléments doubles de k et étant tangente à k\

2° Quatre systèmes ^ comptant quatre fois, de séries quadratiques doublement tangentes à /* et contenant deuK éléments doubles de /, communs à la série quadratique et à l'une des séries linéaires qui forment y; les couples de l'un d'eux sont ys deux fois, 7]x deux fois, \\k deux fois; le réseau correspondant est de l'espèce (/), la série q étant trois fois tangente à k.

3^ Quatre systèmes, comptant huit fois, de séries quadratiques tangentes à./ et contenant trois éléments doubles non alignés, n'appartenant pas ensemble à la série quadratique qui ligure dans /'; les couples de l'un de ces systèmes sont ay deux fois, x^ deux fois, tï^., T|V ; le réseau correspondant est de l'espèce (^), la série q étant doublement tangente à k,

338. La dernière espèce générale (P) de séries quartiques comprend celles qui sont composées de quatre séries linéaires et, par suite, à six éléments doubles; elles admettent quatre éléments bitangents triplement singuliers et trois doublement singuliers; chacun d'eux compte quatre fois. On passe du cas précédent à celui-ci en supposant l'identité de [j» et v.

On trouve, outre six systèmes qui disparaissent et trois systèmes comptant huit fois, auxquels ne correspondent pas de réseaux déterminés :

1° Un système de séries quadratiques quadruplement tangentes à/, contenant les couples ss, '{\i\^ p^u, chacun deux fois; le réseau correspondant est de l'espèce (<:/) et la série q contient les trois éléments doubles de /f;

2"" Quatre systèmes, comptant huit fois, de séries quadratiques tangentes à y et contenant trois éléments doubles non alignés; les couples d'un des systèmes sont ay, x^, 7)^. deux fois chacun; le réseau correspondant est de l'espèce (^'), et la série q est trois fois tangente à k,

359. Nous ayons examiné tous les cas dans lesquels la série quartique/a des éléments doubles ordinaires ou cuspidaux comme seules singularités. Mais elle peut encore posséder des singularités

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d'un ordre pins élevé qne nons allons passer en revue, en nous bornant toutefois aux cas où la série/ est indécomposable : l'étude des autres cas sera en effet rendue très facile par ce que nous allons dire.

Si une série qaartique indécomposable a un élément double à éléments tangents confondus, et si cet élément n'est pas simplement ciispidal, on peut, en choisissant convenablement les coordonnées, écrire son équation sous la forme

-+- ^1 4- dx\x^-^ exlxl -f-/^2^3 -I- lix'i = o;

les éléments (ç) contenant l'élémenl: singulier Oi, et tangents à/" en un élément autre que Oj, ont pour équation

0 =(i — a'^)x^-\-(d — iah)x\x^

~^(e — b^ — '2ac)xlxl-^(f — ibc)x2xl-{'{h — c^)x^= o.

Ce sont les particularités de cette équation qui nous fourniront les divers cas particuliers possibles où la série f a un élément double qui n'est ni ordinaire ni cuspidal.

Remarquons tout d'abord que le premier membre de cette équation ne peut être un carré parfait sans que la série / se décompose, puisque son équation prendrait alors la forme

(xiXs-^- axl-h bx2X^-i- c^|)^4- ^-2 = o,

g étant une forme quadratique en ^o et ^3.

Nous avons les espèces suivantes :

A^ L'équation 6 = 0, où l'inconnue est—; n'a pas de racine nulle, et ses racines sont distinctes.

Alors, on vérifie sans peine les résultats suivants : la série /n'a pas d'autre élément singulier que Oj, est de la huitième classe, admet douze éléments inflexionnels dont aucun ne peut coïncider avec 0^ (et il en est de même dans les cas suivants), et enfin admet six éléments bitangents proprement dits; les quatre éléments tangents à/ contenant Oj sont éléments bitangents singuliers comptant quatre fois; l'élément tangent à /* en O^ est bitangent singulier spécial, comptant six fois.

B^ L'équation 0 = o n'a pas de racine nulle et admet une racine double.

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