CHAPITRE XIV. — LA SERIE QUARTIQUE. Sjg

Alors la série f a un élément double ordinaire autre que Oi ; elle est de la sixième classe, admet six inflexions et deux éléments bitangents proprement dits; il existe deux couples d'éléments bitangents singuliers comptant les uns quatre fois, les autres deux fois; un élément bitangent singulier spécial comptant six fois, et un élément bitangent doublement singulier comptant huit fois.

G^ L'équation 0 3= o n'a pas de racine nulle et admet une racine triple.

La série/ admet un élément cuspidal autre que O^ ; elle est de cinquième classe et n'a que quatre inflexions; il n'y a aucun élément bitangent proprement dit, mais seulement un tel élément, singulier, comptant quatre fois; deux singuliers, comptant trois fois; un singulier spécial comptant six fois; et un doublement singulier comptant douze fois.

D^ L'équation 6 = o a une racine nulle, et les autres sont distinctes.

La série / n'a pas d'autre élément singulier que 0^, est de la septième classe et admet neuf inflexions, ainsi que trois éléments bitangents proprement dits; les trois éléments tangents à/*contenant O^ sont éléments bitangents singuliers comptant cinq fois; l'élément tangent à /en O, est bitangent singulier spécial, comptant dix fois.

YJ . L'équation 6 = o a une racine nulle et une racine double.

La série /a un élément double ordinaire autre que 0^ ; elle est de la cinquième classe, admet trois inflexions et un seul élément bitangent proprement dit; elle admet aussi deux éléments bitangents singuliers comptant l'un deux fois, l'autre cinq fois, un élément bitangent doublement singulier et un autre singulier spécial, comptant chacun dix fois.

F^ L'équation 0 == o a une racine nulle et une racine triple.

La série / a un élément cuspidal autre que 0^ ; elle est de la quatrième classe, admet une seule inflexion et ne possède aucun élément tangent proprement dit, mais un tel élément singulier comptant trois fois, un autre doublement singulier comptant quinze fois, et un singulier spécial, comptant dix fois.

G^ L'équation 6=0 a deux racines nulles.

La série /n'a d'autre élément singulier que 0\ ; elle est de la

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38o LIVRE II. — L\ GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

sixième classe et admet six inflexions; elle possède un seul élément bitangent proprement dit, deux éléments bitangents singuliers comptant six fois, et un élément bitangent singulier spécial, comptant quinze fois.

H^ L'équation 0 = o a trois racines nulles.

La série /*n'a d'autre élément singulier que O,; elle est de cinquième classe et admet trois inflexions; elle ne possède aucun élément bitangent proprement dit, mais un tel élément singulier comptant sept fois, et un autre singulier spécial, comptant vingt et une fois.

360. On peut maintenant supposer à / un élément triple et ceci donne lieu aux trois espèces suivantes :

r. Les éléments tangents en l'élément triple O, sont distincts.

Alors la série /"est de la sixième classe et admet six. éléments inflexionnels et quatre éléments bitangents proprement dits, avec trois éléments bitangents singuliers comptant chacun huit fois.

J^ Deux des éléments tangents en O^ sont confondus.

La série / est de cinquième classe, admet quatre inflexions et deux éléments bitangents proprement dits; des deux éléments bitangents singuliers, l'un compte seize fois, l'autre dix fois.

K'. Les éléments tangents en O] sont tous confondus.

La série /"est de quatrième classe, admet deux inflexions et un élément bitangent proprement dit; l'élément tangent en O^ est un élément bitangent singulier comptant vingt-sept fois.

361. Lidiquons maintenant comment les séries quartiques précédentes peuvent être considérées comme des enveloppes de séries quadratiques.

A'. On peut passer du cas général (D) à celui-ci en faisant coïncider a avec y et y^, v^ avec [x, 9 avec v, x avec ^, À avec rc. On obtient, outre six systèmes qui disparaissent :

1^ Un système de séries quadratiques quadruplement tangentes à/, dont les couples sont aa trois fois, §3', es', ^'^' ; le réseau correspondant est d'espèce (6), (c) ou (d)] la série g contient un élément double de k et touche k en cet élément;

2° Six systèmes de séries quadratiques quadruplement tangentes à/; les couples de l'un d'eux sont 7|6 quatre fois; sî^^, s'Ç; le réseau

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CllAPIÏRK XIV. — LA SÉRIE QUARTIQUE. 38 1

correspondant est de l'espèce (a), (b), ou (c), la série q ayant quatre éléments communs confondus avec k;

3° Huit systèmes, comptant quatre fois, de séries quadratiques triplement tangentes à / et contenant l'élément singulier; les couples de l'un d'eux sont aï] trois fois, §9, ex, p.; le réseau correspondant est de Pespèce (e), la série q contenant l'élément double de k et touchant k en cet élément;

4" Trois systèmes, comptant six fois, de séries quadratiques doublement tangentes à /et contenant l'élément double de/, avec élément tangent commun; les couples de l'un d'eux sont 7j9 deux fois, x'X deux fois, ao, aS^; le réseau correspondan t est de l'espèce (i) ou (/{•), la série q étant quelconque.

B^ On peut passer du cas général (G) à celui-ci en faisant coïncider v et Tj, s et x, Ç et A, a avec [j. et [j/.

On trouve, avec sept systèmes qui disparaissent :

i^ Un système de séries quadratiques quadruplement tangentes à/, dont les couples sont s^ quatre fois, ^iz deux fois; le réseau correspondant est de l'espèce (a), (6) ou (c); la série q a ses éléments communs avec k répartis en deux groupes de deux et quatre éléments; dans le cas (a), on évitera les séries q qui donneraient lieu à l'ensemble d'une série cubique et d'une série linéaire ;

2^ Un système analogue au précédent, dont les couples sont aa trois fois, ^iz deux fois, vv^; le réseau correspondant est de l'espèce (/)), (c) ou (<:/); la série q contient un élément double de A", y touche k et touche encore k en un autre élément;

3° Deux systèmes comptant deux fois de séries triplement tangentes à/, et contenant l'élément double ordinaire de/; les couples de l'un sont ys quatre fois, ^v, tîv^; le réseau correspondant est de l'espèce (e) ou (A), la série q ayant quatre éléments communs confondus avec k ;

4° Quatre systèmes comptant quatre fois de séries triplement tangentes à /, et contenant l'élément singulier spécial de /; les couples de l'un d'eux sont as trois fois, y- deux fois, p; le réseau correspondant est de l'espèce (e); la série q contient l'élément singulier de A", y touche k et touche encore une fois k;

5^ Un système, comptant six fois, de séries doublement tangentes à/, dont les couples sont yy deux fois, sî^ deux fois, av, av^;

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de sorte que ces séries contiennent, avec élément tangent commun, l'élément singulier spécial de /; le réseau correspondant est de Fespèce (/) ou (/f); la série q contient l'un des éléments auxquels correspond une série linéaire double, et cet élément est commun deux fois seulement à ^ et k ;

6° Deux systèmes, comptant huit fois, de séries doublement tangentes à /", et contenant les deux éléments singuliers; les couples de Fun deux sont ay trois fois, e^, Çir, y v ; Je réseau correspondant est de Fespèce (/) ; la série q contient un élément double de A", et y touche la série quadratique qui fait partie de /<•;

7° Un système comptant douze fois, de séries tangentes à/, contenant les éléments singuliers de f^ et ayant même' élément tangent en l'élément singulier spécial; le réseau correspondant est de Fespèce (/), la série q étant quelconque; les couples du système sont ys deux fois, y'^ deux fois, a^, au.

C^ On passe du cas général (H) à celui-ci en faisant coïncider a avec |Ji et p.^, y avec r^, s avec x.

Outre neuf systèmes qui disparaissent, on trouve :

1^ Un système de séries quadratiques quadruplement tangentes à y, dont les couples sont aa trois fois, ^tï trois fois; le réseau correspondant est de Fespèce (6) ou (c) ; la série q touche k en un élément double de /r ; les trois autres éléments communs k k el q sont confondus ^

2° Un système, comptant trois fois, de séries triplement tangentes à y, et contenant l'élément cuspidal ; les couples sont ys quatre fois, çTi deux fois; le réseau correspondant est de Fespèce (e); la série q contient l'élément double de /f, et les quatre autres éléments communs à q et k sont confondus ;

3*^ Deux systèmes comptant quatre fois de séries triplement tangentes à f, et contenant l'élément singulier spécial de /; les couples de l'un d'eux sont as et y^, chacun trois fois; le réseau correspondant est de Fespèce (e); la série q contient l'élément double de k et y est tangente à k] les trois autres éléments communs k q el k sont confondus ;

4^ Deux systèmes, comptant douze fois, de séries doublement tangentes à/, et contenant les éléments singuliers de /; les couples de Fun deux sont ay trois fois, yq deux fois, stï; le réseau corres-

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CHAPIÏUE XIV. — LA SÉRIE QUARTIQUE. 383

pondant est de l'espèce (/); la série ^ touche k en un élément double et contient l'autre élément double;

5"^ Un système, comptant dix-huit fois, de séries tangentes kf et contenant les éléments doubles de y, avec même élément tangent et rélément singulier spécial ; les couples sont yy deux fois, ys deux fois, aÇ, oLTz; le réseau correspondant est de l'espèce (/); la série q contient l'élément de k auquel correspond une série linéaire double.

D'. On passe du cas général (E) à celui-ci en faisant coïncider 9 et V, X et ^, \ et tï, a avec y et p.. Outre dix systèmes qui disparaissent, on obtient :

1° Trois systèmes de séries quadratiques quadruplement tangentes à/; les couples de l'un d'eux sont Gx cinq fois et Ss; le réseau correspondant est de l'espèce (a) ou (6), cinq des éléments communs aux séries q el k étant confondus;

2*^ Un système comptant cinq fois de séries triplement tangentes kf et contenant l'élément singulier; ses couples sont aa trois fois, S9, £x, "Çk; le réseau correspondant est de l'espèce (/i); la série q contient l'élément double de A" et y est tangente à k;

3^ Trois systèmes, comptant cinq fois, et analogues aux précédents; les couples de l'un d'eux sont a9 quatre fois, eX, Çx; le réseau correspondant est de l'espèce (e); la série q contient l'élément double de A", et quatre éléments communs k q el k j sont confondus ;

4° Trois systèmes, comptant dix fois, de séries doublement tangentes à /et contenant l'élément singulier, avec même élément tangent; les couples de l'un d'eux sont a9 trois fois, xX deux fois, aS; le réseau correspondant est de l'espèce (/), la série q contenant l'élément triple de A'.

E^ On passe du cas général (H) à celui-ci en faisant coïncider a avec y, 7| avec ^ et p/, x avec ti.

Outre onze systèmes qui disparaissent, on a :

1° Un système, comptant deux fois, de séries triplement tangentes à /, et contenant l'élément double de /; ses couples sont ax cinq fois, £[j. ; le réseau correspondant est de l'espèce (e) ou (A), la série q ayant cinq éléments communs avec k confondus;

2° Un système, comptant cinq fois, de séries triplement tangentes à y, et contenant l'élément slng-ulier spécial de /; ses

couples sont as deux fois et tix quatre fois; le réseau correspondant est de l'espèce {e)] la série q est tangente à /f, et ses quatre autres éléments communs avec k sont confondus avec l'élément double de k ;

3'' Un système, comptant cinq fois, analogue au précédent, et de couples 7)7; trois fois, as deux fois, xa; le réseau correspondant est d'espèce (A); la série q touche k en son élément singulier et en un autre élément;

4° Un système, comptant dix fois, de séries doublement tangentes à /, et contenant les deux éléments doubles de /; ses couples sont a'/] quatre fois, sx, au; le réseau correspondant est de l'espèce (/), la série q étant osculatrice à la série quadratique qui figure dans k en un élément double de k]

5^ Un système, comptant dix fois, de séries doublement tangentes à/*, et contenant, avec même élément tangent, l'élément singulier spécial de /; les couples du système sont aa deux fois, 7]x trois fois, T,p. ; le réseau correspondant est de l'espèce (/); la série q contient l'élément triple de /f, et l'un des éléments de k auxquels correspond une série linéaire double ;

6° Un système, comptant vingt fois, de séries tangentes à /, et contenant les deux éléments doubles de /, avec même élément tangent en Télément singulier spécial; les couples sont a7| trois fois, ax deux fois, st) ; le réseau correspondant est de l'espèce (/) ; la série q contient l'élément triple de /f.

F^ Le cas général (I) conduit à ce cas, en faisant coïncider a avec X et u, y avec 7\, Outre treize systèmes qui disparaissent on a :

i" Un système, comptant cinq fois, de séries quadratiques triplement tangentes à/, et contenant l'élément singulier spécial; les couples sont aa trois fois, y^ trois fois; le réseau correspondant est de l'espèce (A); la série q touche k en élément singulier, et les trois autres éléments communs à ^ et k sont confondus;

2" Un système, comptant quinze fois, de séries doublement tangentes à y et contenant les deux éléments doubles^ les couples sont av quatre fois, y^ deux fois; le réseau correspondant est de l'espèce (/); la série q contient les deux éléments doubles de k, et est osculatrice en l'un d'eux à la série quadratique qui figure dans k ;

3° Un système, comptant trente fois, de séries tangentes à/*, et

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