CHAPITRE XV. — LA GEOMETRIE MÉTRIQUE TERNAIRE GENERALE

Si un élément (y) est orienté, on petit regarder l'élément normal (yi) à (jk) comme orienté lui-même; en effet, on peut prendre pour les ('/]/) les quantités F^., et alors on peut écrire

De même, si (yi) est donné, on peut prendre pour les (yi) les quantités ^./,., et écrire

Si (y) et (z) sont respectivement normaux à ('/)) et (Q et sont orientés de façon correspondante, comme nous venons de le dire, on a

372. Considérons deux éléments d'espèce différente {y) et (Ç); si [z) est normal à (5^), l'élément {yz) est perpendiculaire à (Ç); c'est le seul qui jouisse de cette propriété et qui contienne (y), si du moins [y) et {JÇ) ne sont pas normaux. Les coordonnées de {yz) sont les quantités jK2*Ï^C3 — ^.>^3^Co • • • ? et l'on a

nous orienterons {yz) en donnant une détermination fixe an radical \]¥y^.^^^— ï){y \ s)-.

La distance {yz) est alors facile à calculer; on a

La distance j/Ç de (y) à (Ç) sera définie par l'égalité

yX^ ^ yz -^ imiz (mod4 ùinz)^ de sorte que, en particulier,

Si {t) est l'élément commun à (Ç) et {yz)j les coordonnées de (^) sont {y | ^)^(^ — y\ ^^î, . . . , et par suite, on a

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par suite, on peut considérer (^) comme orienté, si l'on se donne l'orientation de (Q et celle de (y^), en faisant

alors, on a sans peine car [t) est tel que

Des considérations analogues définiraient la distance Çr de (Ç) à {y)] ('^) étant normal à (j/), l'orientation de {'r\C) serait déterminée par celle de (jK^), et en effet ces deux éléments sont normaux; (9) étant commun à [y) et {^fy^)j l'orientation de (9) est déterminée, et l'on a

ty ^ Ç6 s= ^-q -h t [jm (mod4 t[Jt.7r) ;

par suite aussi

-^^+-^=71 (modaTT).

1 un ii\i

Quand la quantité Fjstï)^^ — D(j-|Q- est nulle, c'est que, comme on sait, (y) appartient à l'un des éléments tangents à F qui ont pour éléments de contact les éléments communs à (î^) et F; dans ce cas, on a

yt^ ini^ {moàiiniiz),

quelles que soient les orientations*, [y) et (^) sont perpendiculaires. Quand (y) et (Q sont normaux, on a

y'C^^ imiz (^Taoàê^imn), Si [y) et [z) sont respectivement normaux à (yj) et (Ç), on a

y'C Ti z

-^^T-^ = — ^ (modaTi).

'2 lin ii]j.

373. Les formules développées dans ce qui précède permettent d'énoncer de nombreuses propositions sous une forme nouvelle en y introduisant les notions de distance.

En voici deux exemples. Si quatre éléments (jk), (^), (^)j (^0

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