CHAPITRE XV. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE GÉNÉRALE. 4oi

appartiennent à un même élément (^), leur rapport anharmonique peut s'écrire

en adoptant des notations indiquées pins haut; et par suite,

. yt . zu siii-^-^ — sin — -. —

iyztu)= = =^.

. ru . zt sin^^-i — sin — -. — iim 1 im

Si un élément (^) appartient avec (v)) et ÇÇ) à un même faisceau, son équation peut s'écrire

et réciproquement; mais cette équation s'écrit aussi

•\jt , oc t\ ^ , 00 L

Ai <ï>./,2 Sin— H- -H Ao 4>?:2 siii— ^- = o, ^ iim ^2 un

d'où une proposition facile à énoncer.

374. Considérons une suite de n éléments (^), (y), (^), (^), (?/), . . . , dont le dernier soit (ç^) ; son étendue sera

S = xy -h.yz -h zt -i~ tu -h. . .-\- wx.

La suite équivalente de seconde espèce {ocy), {yz)^ {^^)i (^^^), • • ou (^), (tj), (Ç), (9), . . . aura de même une étendue

Comme on peut écrire

S = {ajy -r-y^ -f- ^^) + (^'-2 -{- zt -\- tx) -h {xt -^ tu -\- ux) -f-. . . ,

on voit qu'on peut ramener le calcul de S à celui de l'étendue d'une suite triple; il en est de même pour S. C'est ce calcul seulement que nous allons développer.

Soit donc une suite triple {x)^ (y), {z)\ désignons par (^), (v]), (5^) les éléments {yz)^ {^^)i {^y) ^^ 1^ suite équivalente et supposons que l'on ait

An. — I. Si6

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Un calcul direct donne d'abord

^xy^xz^--^ '^yz^yx^^'C^^-^'^zx^zy^^'Q- /^^V^'oV*^^

^yz ^zx^xy - ^yz V^ \/^V- - F,^ /^ V^ - F^^ i/^i^ /^-^^

On voit que l'étendue S est définie à un multiple près de 4^V??7r, quand l'orientation de (i), ('/^), (!^) est connue.

Si l'on veut ne faire figurer dans les formules précédentes que les {œ)j (y), {z). on remplacera O^s, par exemple, parF^^F^s — F^^.

Supposons maintenant qu'au contraire on ne veuille plus faire figurer dans les formules ci-dessus que les (Ç), ('/]), ((^); on a successivement

cette dernière notation représentant le déterminant

*-oC

et, par suite, après suppression d'un facteur commun haut et bas,

sm— ^— = — L) {^TiQ r- ; / — Cl / , r ?

2 mi (cï>.^^ | y/cï>^. /^j;,) (cï,j.^ + y/çE)j.a v/^^.) (<î.^.^ + /^^. /(i>.^.)

cos— = 1 ^HJr^Y

On aurait des formules analogues pour déterminer l'étendue S de

la suite (i), ('/]), (Ç).

375. Si les éléments fondamentaux n'appartiennent pas à l'absolu, on peut prendre

Y =■ Xl'{- Xl-h xl-\- 2. C0SÙiCC2Xs-\-1 COs62a?3 57i+ 2 COsG3a7irr2;

si nous supposons m= [a 1= —., pour simplifier, et si nous orientons les éléments fondamentaux en prenant pour O^-, Xi=i et

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