CHAPITRE XV. LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE GÉNÉRALE. 4o
Les équations de O^Mi et O^M'^ sont respectivement
^2 — ^3=0 et ^2-^^3—0-
On voit que les 0/M/ sont des éléments alignés; il en est de même de Q^M^, O2M2, O3M3 par exemple; les M'^- sont des éléments alignés; il en est de même de M',, M27 M3 par exemple; et ainsi de suite.
Considérons le lieu des éléments (x) tels que l'on ait
ce sont les séries linéaires
COS 63371-1- 372 -H COS01373 — zh (cOS02 37i -\- COS0i 372-1- ^3);
elles contiennent respectivement M^ et M'^ et sont perpendiculaires à Q^ ; on peut énoncer, pour les six séries linéaires analogues, des propositions semblables à celles qui précèdent relativement aux 0/M; et 0/M^-.
On envisagera de la même façon les milieux des distances telles
que Û2^^3-
On n'oubliera pas, d'ailleurs, que la plupart des propositions précédentes, qui prennent un intérêt spécial en Géométrie métrique, correspondent à des propriétés plus générales de la Géométrie projective, qu'il serait facile d'énoncer. Mais il est inutile de donner plus d'indications sur ces théorèmes spéciaux que l'on peut multiplier à volonté; il est suffisant d'avoir montré leur origine générale.
II, — Les mouvements et les invariants métriques.
377. La distance de deux éléments quelconques ne change pas quand on fait un changement de coordonnées, ou une transformation homographique quelconque, à la condition que les constantes m et u. gardent leurs valeurs, et que, dans le dernier cas, le nouvel absolu soit l'ancien transformé.
Transformons maintenant les éléments de l'espace E par une
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4o6 LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.
homographie quelconque a*
CCi =z \^x\ H- |Jli ^2 4- Vi ^3 , 072 ~ X2^i H- [J^2^2 "^ '-'3^3,
les i^x') étant rapportés aux mêmes coordonnées que les (^), et laissons l'absolu invariable, ainsi que les constantes m et p..
On peut rechercher les homographies o- qui sont telles que la distance de deux éléments quelconques soit égale à la distance des deux éléments correspondants, au degré près d'indétermination qui se préseute toujours quand il s'agit de distances.
La considération des éléments à distance infinie montre tout de suite qu'une condition nécessaire est que, si l'on applique la substitution a- à l'absolu, on retrouve l'absolu lui-même, et cette condition est aussi manifestement suffisante. Les substitutions o- cherchées sont donc telles que l'on ait
et d'après l'identité
Fx.
Fa
Fv= F, F33 F
.V FvX Fx^,
titité
Fx»
Fxp. Fxv
F(j,= Fjiv
Fxv
F|xv Fv»
la valeur commune des rapports précédents est ()^\Kv)'\
378. Pour étudier plus facilement les homographies que nous venons de définir, nous prendrons F sous la forme canonique déjà employée souvent,
alors, on a Ffj2=o, Fv^^ro, Fx^ = o, Fxv==o, et l'on doit par suite écrire, en appelant w^, CO2, co'^, co^, a des paramètres arbitraires,
jai= 2 0)10)2, Vj =: 2 0)'i 0)2, Xi — « ( COi Wg H" 0)2 0) ^ ),
: ao)ico^,
X3 = àO)2 0)2.
La condition — -' = — ^ donne alors a^ =: i, et il est clair que l'on I — 2 ^ ^
ne diminue pas la généralité en faisant a = i .
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