CO 2 ^] + W I
et, en faisant co^ to'^ — 0)2 w'^ == to, on a ()^[i.v) = o)^, tandis que les rapports tels que -rr- sont égaux à co^. Inversement, on a
0)2^'^ =z (cOiCOg -4- (JO2 03^)^1 — 2 0^2 (j02:2?2 — 20)10)1^^3,
Si F était donnée sous la forme la plus générale, on chercherait d'abord une substitution
Xi = ÀiiXi -+- Al 2-^2 "^ '^IS-^Sî
X2 = A21 Xi -|- A22X2 + A23 X3,
Xz=^ A31 Xi -H A32X2-f- A33X3,
qui mette F sous la forme XJ — 4X2X3, à un facteur près; appliquant alors aux (X) Tune des substitutions o- précédemment définies et supposant que les formules précédentes donnent
5 étant le déterminant des coefficients (X), on trouvera
^Xi~ ^C0'j\ [Jlyi[Xii(0)i0)2 -H 0)2 0)i)+ li^OJi (}i'i 4- X/3 0)2 0)2] + p.y2 [2X^1 0)1 0)2 -h X/2œf -I- X/3 0)| ] -H [^ys [2 X/i b)\ 0)2 -H X/2 w'i^ -H li'sOj'i ] j.
Si, par exemple, on a
F = xl -+- xl -h x?^ ,
on fera
^i = Xi,
d'où
2iXi = lixi, 2^X2= — X2-h ix-^,
Hosted by
4o8 LIVRE II. — LA. GÉOMÉTRIE TERNAIRE.
et Ton obtiendra des formules semblables à celles connues sous le nom à^Olmde Rodrigues,
379. Les substitutions a- que nous venons de déterminer sont des mouvements. Si (^) et (^^) sont correspondants, on a
on peut donc considérer [x^) comme orienté en se donnant la détermination y/F^--, et, par suite, [x) comme orienté, en faisant y/Fjï:2= ±: Cl) \/F^^'2, le signe étant toujours le môme ; de même, on a, si (^) et [^) sont correspondants, $|'2= a)2(ï>|2 et l'on peut considérer (^) et {^) comme orientés simultanément, en faisant y/<ï)^'2= ± tù \/^|2, le signe étant le même que plus haut. De même enfin, la quantité y/ F^^^^^^ — D(x \ ^y peut être considérée comme ne changeant pas de valeur après la substitution cr. Ces conventions faites, et nous les conserverons par la suite, on voit que la distance de deux éléments quelconques est toujours égale à celle des deux éléments cjui leur correspondent, et cette propriété justifie le nom de mouvement donné plus haut aux transformations o- qui nous occupent.
Un mouvement est une homographie dont les invariants sont, avec tes notations du n° 206,
l = OJl CD 2 -H CD.2 Oj\ -i- a)| -I- 0^2^ , 7 =: (x> î, cl = 0}^ ,
et, par suite, vérifient la relation
y 3 — di^ — o.
Ces formules sont d'ailleurs valables cjuelle que soit la forme F. La condition j^ — di^=o exprime, comme l'on sait, que si la transformation (7 fait correspondre (x^^^) à (^), (x^^^) à {x'^^^), . . . , les six éléments (^), (^^^^), (^^^^), (^^^^), (x^^^), (x^^^) appartiennent à une même série quadratique, qui contient aussi par suite tous les éléments (^^"^).
L'équation en p se décompose en
et
p2 -+- ( w — t) p -f- to2 — G ;
(1) n'étant pas nul, on n'a comme cas particuliers possibles que
Hosted by
