CHAPITRE XV. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE GÉNÉRALE
ceux qui correspondent aux hypothèses i+ w = o, i — Sco = 0. Dans le cas général, à la racine w de l'équation en p correspond un élément double (^) défini par les relations
oc \ «-*^2 ^;i
Wl 0)2 — ■ Wj 0)2
et un élément double (i), normal à (^),
(jOi (1)2 2 0)2 2 0)j ^
nous appellerons ces deux éléments O et Q.
Il est clair alors que les autres éléments doubles sont les éléments communs à F et Q, ou bien à <ï> et O. On remarquera d'ailleurs que les éléments de F ou <ï> sont soumis par la transformation (7 à une transformation homographique, et les éléments doubles de ces deux homographies sont ceux que nous venons de trouver.
D'après une proposition connue, si (^) et (^^) sont deux éléments correspondants, la distance (0^)(0^^) aura une valeur constante, qui sera la grandeur du mouvement; si (i) et {^) sont
de même deux éléments correspondants, la distance (Q^)(Q^^) aura la même valeur constante, [Ji étant remplacé par m. En orientant de façon correspondante les éléments (O^) et (0.2?^), qui sont correspondants, on trouve
cos -^ — , sm^ -i- = — -;
2 i |Jt. -2 CO 11 IX 2 0)
la dernière formule contient un radical dont la détermination correspond à l'orientation de O ; la première donne la signification de i — CO = o.
De plus, les distances O^ et Ox' sont évidemment égales, et
de même les distances Oç et Q^' ; comme le lieu de (x), quand Ox est donnée, est manifestement une série quadratique, bitangente d'ailleurs à F aux deux éléments doubles du mouvement autres que O, la remarque faite plus haut sur la condition j^ — di^ = o devient évidente. Ajoutons qu'une telle série quadratique ne change pas par la substitution a-, comme l'absolu.
On peut, s'il est nécessaire, simplifier l'étude d'un mouve-
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4rO LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.
ment en supposant que O soit rélément fondamental 0^ ; alors C02 = co'j = o. On a
Û^l — COi 0)2 X\ , ^^2 = W| ^2 5 ^3 = ^2^ X'.^ ,
w =: a)i Wg , z: = toi 0) 2 -f- wf + oy'^ ,
cos^ ^T = —^ r^? sm- ^^ / ^ 1 - / V
111^ 2Cl)iC0 2 '2f[JL 2 0JiCl>2
Examinons maintenant les cas particuliers.
Si ^' — 3co = 0, la racine to de l'équation en p est triple, et il ne lui correspond qu'un élément double de chaque espèce. Ce cas est limite du précédent; O ajDpartient à F et Q est tangent à F en O. Deux éléments correspondants (x) et (x') appartiennent à une même série quadratique surosculatrice à F en O, qui ne change pas par la substitution a*.
Enflu) si i-i- to = o, la racine to est simple pour l'équation en p et fournit, comme précédemment, deux éléments doubles normaux O et 0, qui ne se contiennent pas; l'équation en p a en outre une racine double — oj, à laquelle correspondent tous les éléments de Q et de O comme éléments doubles; l'homographie a- est donc ici une homologie involutive. On a
les formules simples données dans le cas général subsistent avec l'hjpo thèse CL)^ + w!, = o.
Toutes les propriétés générales des homographies s'appliqueront aux mouvements, sans qu'il soit nécessaire d'insister,
380. Les mouvements forment évidemment un groupe. Si deux mouvements successifs ont pour paramètres w/, 0J2, <^\, ^'2 comme précédemment, et, avec le même sens, 9^, 82, 9'^ , S^? ^^ mouvement résultant aura pour paramètres correspondants
Qj =0)1 61 -H o)'i 0-2, ^\ = 0)1 ô'j -H 0)i G2 ,
O2 — 0)281-1- 0)2 G2 5 ^2 — ^2^1 + ^'2 82 ; d'ailleurs
O1O2 — ^2^1 = (WiO)2 0)2 0)i )(ôi 62 8281 )•
Ces formules, qui donnent la loi de composition des mouve-
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