CHAPITRE XV. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE GÉNÉRALE
ments, s'obtiennent aisément en composant les deux substitutions linéaires suivantes, qui s'appliquent à des variables binaires (A),
A| = a)| A I -f- to 1 A 2 , A j = 01 A j -f- G I A 2 ,
A 2 =^ t02 A . --\- tO^ '^ 9 j A 2 — ^ ^2 '^ 1 ~i~ ^2 2'
et qui donnent, en effet,
A 1 = Lil A A — }— 12 j A 2 5 A 2 = 122 ^ 1 ~T" i2 2 A 2 •
Ce fait est rendu évident par la remarque suivante : si l'on considère un élément (ce) de l'absolu et que l'on suppose œ\ = 2X4)^2? ^2=^^, ccs^'kl^ cet élément devient, après la transformation a-, (^^), et si les (V) sont les paramètres correspondants, on a précisément
Ai= (jûiAi -H uù ^A^)
X2 =^ WgX'j -H 0)2 Xg.
L'étude du mouvement a- est donc liée d'une façon fort simple à celle de l'homographie déterminée par cette dernière substitution sur l'absolu; les invariants de cette homographie sont d'ailleurs to^ -f- co^ =: \^i -{- oj et co.
Cette remarque permet d'écrire facilement la substitution aquand F est donnée sous une forme quelconque : il suffira d'exprimer rationnellement les coordonnées d'un élément de F en fonction de )v^ et }v27 d'effectuer la substitution linéaire précédente sur les (X), et finalement de remplacer \'^^ aV^V^, X'^ par leurs expressions linéaires en fonction des (x^).
381. Les mouvements formant un groupe à quatre paramètres, on peut, pour ce groupe, construire des invariants absolus d'un système ternaire S quelconque. En gardant les notations du Chapitre I, ces invariants seront distincts en nombre P — 4? en général, et seront les solutions de quatre équations aux dérivées partielles qu'il sera toujours facile de former en remarquant que le groupe contient quatre substitutions infinitésimales qui correspondent aux substitutions infinitésimales de la substitution binaire générale relative aux Çk) définie au numéro précédent.
Dans le cas étudié précédemment, où F = ^^ — /[XoCCsy ces
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4l2 LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.
quatre équations, formant un système complet, seront
AiiF -H 2A22F = o, 2A12F H- A31F = o,
A11F-H2A33F =0, aAisF -H A21F = o.
On fera sur ces invariants métriques absolus les mêmes remarques qu'en Géométrie binaire.
On pourra les former en adjoignant au système S les coefficients de l'absolu, et prenant ceux des invariants absolus ordinaires du système S^ ainsi formé qui sont homogènes et de degré zéro par rapport aux coefficients de l'absolu. Il en résulte que les équations aux dérivées partielles qui les déterminent pourront être formées de la façon suivante en général. On considérera les neuf équations
ahf-^.f,, — H- F,2^-^+ ^^'wrr''^
A F^ F ^^ -u F ^^ > oF ^^ ^
^Fi3 '' ^F23 "" ÔF
on leur adjoindra l'équation
qui exprime que l'invariant F est homogène et de degré zéro par
rapport aux coefficients de l'absolu, et entre ces dix équations
,1- . , . , àF ôF ^ ^ . .
on éliminera les quantités -Tp—. •••? jet- y •*•• ^n trouvera ainsi
les quatre équations cherchées. On remarquera que les symboles A/yF employés plus haut se rapportent uniquement aux éléments du système S, et qu'au surplus il n'y a pas de confusion possible sur la signification de la lettre F, déjà employée pour désigner l'absolu.
Si, par exemple, on a
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