CHAPITRE II. — LES FOniMAïFONS INVAKIATn'ïES GÉNÉRALES

SI^ et?: sont égaux, on a, en particulier,

A ne

Pi ^ p.

Mais les quantités ( y^ ) ( y^ ] " et ^^ '^ ^^ forment deux sys-

Ce procédé, appliqué aux polaires d'ordre h de/ et A considérées comme fonctions des (y) et des (t)), redonnerait K^(/, A).

44. Supposons maintenant que g ^=: bxP' soit une forme dépendant comme /'des variables (x): -—- et —'—5 d'une part, -, — et -r^?

d'autre part, étant des systèmes invariants de même espèce, la fonction

(El ÈK^ÊL ^Y'

est un invariant du système/", g^ (^).

dx'^'dx'i' tèmes invariants de même espèce; il en est de même pour les

quantités -^^ t^ et — ,' • donc, en introduisant un

i \dxij \dxj dx'l'dx't^

facteur numérique, la fonction

j.( / .) ^z!z/i ^/^ /i/ i^ iz: ^ V,

où la puissance qui figure au second membre est symbolique, est encore un invariant, d'ordre h évidemment. Si/> et/j>' sont égaux, on a, en particulier,

Les invariants K et J se ramènent aisément les uns aux autres, en remplaçant la forme A, par exemple, par celle qui lui est équivalente. Il en serait de même des invariants analogues aux J obtenus en partant de deux, formes aux variables (^).

On pourrait appliquer les mêmes principes à bien d'autres cas : c'est ainsi que, par exemple,/ dépendant des variables [ce) et (y), on obtiendrait sans peine l'invariant

ôxi dy^ àx^ dy i''

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d'où Fon déduirait, en appliquant la représentation symbolique des dérivées, le nouvel invariant

Enfin les invariants K et J se généralisent et s'appliquent encore aux cas où les formes dépendent de plusieurs groupes de variables. Il est inutile de donner plus de détails sur cette généralisation, qui est immédiate.

45. Les invariants 3^(f, g) que nous pouvons considérer seuls ^ à l'exclusion des invariants K, d'après ce qui précède, sont particulièrement importants : ce sont les Ueberschiebungen de Clebscb et Gordan; en les utilisant seuls, on arrive à former les systèmes complets d'invariants des systèmes binaires.

D'une façon générale, nous remarquerons que i^^{fif) est nul identiquement quand h est impair; que l'on a

En particulier, si^et g sont de même degré, et si h est impair^ on a

donc, dans ce cas, J'^ (/,§') est un combinant de f et g.

46. Nous allons dire quelques mots des cas particuliers où l'on a A == I ou A = 2 .

Nous emploierons d'ailleurs les notations abrégées suivantes

P(F—^)^^V p{p — i) 0X10X2^ *^"^ p(p—ï)dxl

Pour/? — r T, on a, en supprimant l'indice h,

Hf,g)--

ri ^"2

^'fig-i~f-i

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