CHAPITRE II. — LES FORMATIONS INVARIANTES GENERALES

Cette fonction est \e jacobien ou déterminant fonctionnel des deux formes / et g. On a les relations

d'où

^lJ(/, ^)-^ /^•2— é*"/2,

^2J(/, ^-j^ —fg-i-^gf\-

Si J(/, g) est nul identiquement, on a donc

l ^ A ^ h. ^ p'^f ^ g 'g\ gi ~ pd.g'

df Qi dg désignant les différentielle s totales de / et g\ par suite

G étant une constante. Si en particulier p^ =z p^ on a y= C^, et les deux formes/ et g sont identiques à un facteur près, indépendant des {x).

Le jacobien J(/, g)^ égalé à zéro, définit les éléments [x) tels que leurs sjstèmes polaires d'ordres p — i ^^ p' — i par rapport à y et g coïncident.

Supposons que / et g admettent une même racine q fois et c/ fois respectivement; nous pouvons supposer que cette racine est définie par Xi =r^ o ; alors un calcul facile montre que J(/, g) admet cette même racine q + q' — i fois au moins, et l'admet certainement^ -H ^^fois, si Ton a pq' — p^q = o, et dans ce cas seulement. En particulier, si / et ^ sont de même degré, et si qq' n'est pas nul, la racine commune est au moins double pour J{f, g)-