Dans le cas de h = 2, il vient

Si, en particulier, / et g sont identiques,

iHf,f)=^ifuf22~fUJ=^^

J- (/*,/') est le hessien de la forme/.

J-(/, /) est le jacobien des dérivées partielles /^ et/2, à un facteur près ; si donc J-(/, /) est nul identiquement, la forme/ est,

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44 LIVRE I. — LA. GÉOMÉTRIE BlN.ilRE.

comme Ton sait, la puissance/?'''""' d'une forme linéaire. Si/admet une racine multiple d^ordre q^ y^{f\ f) admet ce même facteur 'Àq — 2 fois.

48. Trois formes /= a^/^, gz:=bccF'-) h^=CxV" ont pour invariant la fonction

/il /l2 /22

Hrzr ^ji ^'12 ^22

An ^^12 ^22

car les dérivées //y, ^vy, /^ /y forment trois systèmes invariants de même espèce; cet invariant est d'ailleurs un combinant. J^crivons encore

I /22 -2/12 /il I

I /?.2 2 — 'ih\^ h\x \

et multiplions membre à membre cette équation et la précédente. Oq obtient l'identité importante

Si Ton fait h = (^j/)-, puis que dans les hij on remplace les (/) par les (^), on a H ^=1: J(/*, g) en vertu des relations

on a aussi

On peut donc écrire

I yKf.f) ^\f.g) / 2[J(./;^)?- I JH/;^) JH^,^-) ^

toutefois ceci suppose p el p' supérieurs à i .

Considérons maintenant une quatrième forme k analogue à /*,

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