CHAPITRE XV. — LA GEOMETRIE MÉTRIQUE TERNAIRE GÉNÉRALE
OU bien
. GsGv . GgCs . CftCg . GsGy . GftGe , GvGg
n 1 sm— ^- — - sin dr sm— *- — sin dr sm— ^- — sin —
le symbole II indiquant un produit.
Cette formule s'appliquera en particulier à des séries linéaires tangentes à un même cercle, et correspondra alors au théorème de Ptolémée.
Elle permettra aussi d'écrire simplement l'équation des deux cercles tangents à trois cercles donnés.
Si un nouveau cercle est tel que Gp, Cy lui soient tangents^ Cg, Cg quasi-tangents, on aura de même
. GpG^ . GôGs^ GpGô G,Gy GpG. ^ GyGô\
n sin— ^- — ^sm =fc cos— ^^ — cos dz cos— ^- — cos— J — — o.
De même si Cp, Cg sont tangents^ Cy, C^ quasi-tangents à un nouveau cercle, on aura
GftGy GgGs . GftGg , GjGy G^Cs GyGg\
m cos— ^- — - cos dz sin— ^- — sm dz cos— ^- — cos — ' — ■ = o.
Les hypothèses précédentes ayant lieu simultanément, on peut
choisir les signes des quantités telles que cos ^ ^ et sin J— I de façon à avoir
. GftGv . GgGs . GsGg . GsGy . GsGs . GyGg sin J:^ — L sin -f- sin ^ sin L -f-sin i:î — sin— ^ = o,
GftGy . GgGs GsGg GeGy 0^0^ GyGg
n~^- — - sm h cos-^- — cos -h cos— ^- — cos— ^ — = o,
si
GftGy GgGs . GftGg . GsGy GftGs GyGg cos— =- — - cos ■ -+- sm— ^- — sm dz cos— ^ cos — - — = o ;
si alors, dans la troisième formule, c'est le signe inférieur qui existe, on en déduit
GftGy GgGc GftGg GcGy . GftGj , GyGg cos— ^- — - cos h- cos— ^- — cos — sm— ^- — sin— ^ = o,
et l'on en conclut qu'il existe encore un cercle tangent à Cp, Cs quasi-tangent à Cy, Cg.
43o LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.
De cette remarque résulte la proposition suivante : Si l'on considère les quatre systèmes de deux cercles tangents à trois cercles donnés, ou bien tangents à l'un et quasi-tangents aux deux autres, on pourra former, en associant convenablement quatre de ces cercles, un de chaque système, huit groupes de quatre cercles, qui seront ou bien tangents à un nouveau cercle, ou bien deux d'entre eux tangents, les deux autres quasi-tangents à un nouveau cercle.
C'est le théorème de Feuerbach dans toute sa généralité.
398. Soient donnés trois cercles Ga, Gp, Gy, et cherchons trois
autres cercles Ga', Gp', Gy', tels que les cosinus des distances Gp'Gy',
Gy'Ga', Ga'Gp'^ Ca'Gp, Ga'Gy, Gp'Gy, Gp'Ga, GyGoc, Gy'Gj3 soient connus : c'est le problème de Malfatti dans toute sa généralité.
Les relations entre les distances mutuelles des cercles des deux groupes Ga, Gp, Gy, Gp', Gy' et Gp, Gy, Ga', Gp', Gy' déterminent
cosGpGp' et cosGyGy' : il y a d'ailleurs huit solutions. On achève alors facilement, et l'on trouve seize solutions.
Dans le cas du problème de Malfa tti ordinaire, on a, par exemple ,
cos Gp' Gy/ = cos Gy G^/ — cos Gc^' C^' ~ — i , cosGa'Gp = cosG^'Gy = = i.
Dans ce cas, G^' étant tangent à Gp, Gy et quasi-tangent à Gp', Gy', en posant
il vient
en utilisant les relations analogues, on peut écrire
COSGpGy :
cosGy Ga
COS Ga
COSGy
cosGojG^t' :
cosGpGp/
1 + ^ = ii=
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et les formules analogues; les radicaux ont des déterminations arbitraires, et s = ±: i .
On a ainsi seize déterminations pour x, y^ z] mais, en se servant des relations laissées de côté, on voit qu'il faut prendre s = i, et il ne reste que huit déterminations.
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