CHAPITRE XV. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE GÉNÉRALE

Le problème s'achève sans peine, sans qu'il soit utile d'insister.

399. Soient deux cercles Cq et G] tels que le cosinus de leur distance soit a, et considérons les divers cercles G' dont les cosinus des distances à Gq et G| sont b^ et b»,] à l'un de ces cercles, GJ^, on peut faire correspondre deux autres cercles G^^.^ et Gj^^^ dont le cosinus de la distance à G)^ soit une constante donnée i^.

Entre les cercles G' existe par suite une correspondance doublement quadratique symétrique. Si donc on part d'un cercle G,^ pour obtenir successivement G^^^^, C,i+2^ •••? ^'n+hi •••5 ^^^ cosinus des distances G,'^G/^^>^, ^'ii^n+^^ • • *' ^'a^'n+ki • * • seront, quel que soit G,^, des constantes 4? H) •••? 4? dépendant des invariants de la correspondance doublement quadratique que nous venons de signaler.

Il est facile de calculer ces constantes successives immédiatement. En effet les cercles Gq, Gi, G,'^, ^u+m ^n+k donnent

ik-h

Nous savons que, en général, les cercles G^ seront tangents à deux cercles du faisceau (Gq, G^); si nous supposons que ces cercles soient précisément Gq et G,, on aura simplement, en remarquant que I — a ne peut être nul,

(i — ihY -h (i — i/cY + (i — h-hY — 2(1 — ih){i— i/c) — 2(1 — 4)(i — i/c-h)

d'où l'on tirera d'abord,

I— 4==4(i — h) puis

(i —ih){i — ik){i — i/i-h) ■■

(i-^OS

(i — 4+i)(i — in-i) = {in— iiT^;

si 4=^ i? c'est que G'^^^ coïncide avec G,^; la série des cercles G^ se ferme d'elle-même.

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Remarquons que tout ceci peut être facilement rattaché aux propositions analogues que nous avons rencontrées en étudiant l'ensemble de deux séries quadratiques. En effet, le lieu des centres des cercles G^ est une série quadratique facile à définir, et si l'on considère deux cercles consécutifs G',^ et G'^^^, l'élément de seconde espèce défini par leurs centres a lui-même pour lieu une série quadratique.

Nous ne développerons pas davantage les applications qui précèdent : elles suffisent pour montrer l'emploi des formules générales, et notre but n'est pas de retrouver toute la Géométrie métrique.

Observons d'ailleurs que la théorie des cercles n'est autre que celle des séries quadratiques bitangentes aune série quadratique donnée, présentée d'une façon particulière. Tout ce que nous avons dit pourrait donc être sans peine énoncé d'une façon différente et fournir de nouvelles propositions plus générales, au moins en apparence.