CHAPITRE II. — LES FORMATIONS INVARIANTES GENERALES

g, A, et multiplions ensemble les matrices

/*ii

Al2

-- 2 Al 2

on obtient l'identité

^HLf) ^KLg) ^Hf.h) }Hf, k) p-{f,g) r~{g,g) iH^g.h) r^{g, h)

J2(/, k) ]Hg, k) JHA, /O JH/^, /O i

Supposons /f = {xyy^^ puis remplaçons les (j) par les (^) ; on aura encore, comme plus haut,

r-ij\f) r<f\g) J^(y; h) f

D'une façon générale, si (F), (G), (H), . . . sont m systèmes invariants de n fonctions qui soient de même espèce, le déterminant de ces fonctions, si m = /i, est, comme l'on sait, un invariant ; si, de plus, (<ï>), (^), (X), . . . sont m systèmes invariants de n fonctions qui soient d'espèce opposée à celle des précédents, et si l'on multiplie ensemble les déterminants ou les matrices formés par les fonctions (F), (G), . . ., d'une part, et les fonctions (<ï>), (W), . . . , d'autre part, on obtient, comme produit, un déterminant dont tous les éléments sont des invariants et qui est égal à zéro si m >> 72, à un produit de deux, invariants si m = n et à un invariant mis soLis forme différente si m << 11. Ce procédé général est souvent utile pour trouver des relations entre les inv^ariants d'un système.

49. Nous citerons encore les formules suivantes, parmi toutes celles qui se rapportent aux invariants J :

f]{g, h)^g}{h,f)^hHf,g)^o,

J(/, g)i{h, k)-r-MJ\ A)J(/r, g)-^.HL k)}{g, h)=o,

nHLg).h]

hr-{f,g)^

rJ^/, A)--/J2(^s /O;

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dans cette dernière formule, facile à vérifier, p et p^ sont les degrés de /et de g\ d'ailleurs ces degrés, comme celui de A, sont supposés supérieurs à l'unité.