CHAPITRE XV. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE GÉNÉRALE
forme / devienne
et que la forme F^sH- a'I devienne
G:=.AfH-A|-i-Al-[-A|.
Ces formes sont déterminées, au signe près, par la résolution d'une équation du quatrième degré, obtenue en égalant à zéro le discriminant de la forme quaternaire
/(ai, «2, a^, ai,) -h ^[F^^-f-al];
les détails de cette détermination seront indiqués dans l'étude de la Géométrie quaternaire.
L'équation
Ài A-i -f- X2 A2 4- X3 A3 H- X4 A4 = O
représente un cercle Çk), et il est clair que deux cercles (\) et ([x) seront orthogonaux si l'on a
Xi [J.1 -I- X2 [J.2 + X3 [X3 H- X4. [J.4 = O,
en vertu de l'invariance des formes polaires.
En particulier, les quatre cercles d'équalions A/= o sont orthogonaux deux à deux : nous les appellerons les cevQ\e?> principaux de la série y.
Un cercle ().) de rayon nul vérifie la relation
Xf-}-Xl-+-X|-i-X|^o.
Une première propriété est la suivante. Il existe sept substitutions linéaires et sept seulement qui conservent la série / et la forme G. Quatre de ces substitutions sont du tjpe
Xi = — X\ , X2 — X2 , X3 = X3 , X4 = X4 ; les trois autres sont du type
Xi == X'i, A2 = X2, X3=X3, \,^=zk\.
Les quatre premières sont des inversions générales dont chacune conserve un cercle principal, et les cercles qui lui sont orthogonaux. Les trois autres sont des substitutions conformes proprement dites, involutives, conservant les cercles des deux faisceaux déterminés par les cercles principaux pris par groupes de deux :
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il en résulte une définition simple de la transformation correspondante pour les éléments {x).
il3. Dans le cas particulier où/* est une série quadratique ordinaire, la transformation précédente est encore applicable; on a yr^^^ro, si l'on veut, et Ai, A2, A3 sont des fonctions linéaires
seulement, tandis que A/, = «/,. On a donc aussi
et la transformation n'est autre que celle qui consiste à rapporter les séries y et F à leur suite triple conjuguée commune.
Les cercles principaux se réduisent aux éléments de seconde espèce de cette suite triple et à l'absolu. Des quatre inversions qui conservent la série y, trois se réduisent à des mouvements involutifs, à l'orientation près des éléments; la quatrième n'a d'autre effet que de changer l'orientation des éléments (^). Quant aux trois substitutions conformes qui conservent/, ce sont des mouvements involutifs faciles à définir.
On calculerait sans peine, au moyen de formules déjà données, dans un cas plus général, les distances des éléments yx) qui ont même polaire par rapport à / et à l'absolu, aux éléments communs à/* et auîv cercles principaux; et de même on interpréterait métriquement les invariants communs à /et F.
Les cas particuliers où/serait tangente ou osculatrice à l'absolu ne permettent pas la réduction générale précédemment employée, mais ces cas particuliers peuvent être envisagés comme cas limites du cas général,
Si/ était bi tangente ou osculatrice à l'absolu, on serait ramené à l'étude des cercles, et les généralités qui précèdent trouveraient encore leur application évidente.
414. Revenons au cas général et cherchons à déterminer les cercles bitangents à la série/.
On trouve aisément quatre séries de tels cercles, dont l'une, par exemple, est définie par les relations
Al — O,
P2—Pi Pà—Pi Pk — P\
La première relation indique que les cercles de cette série sont
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