CHAPITRE XV. — LA GEOMETRIE MÉTRIQUE TERNAIRE GÉNÉRALE

orthogonaux au cercle principal A^ = o, ce qui nous prouve immédiatement que ces cercles se conservent dans l'inversion qui correspond à ce cercle, les deux éléments de contact de l'un de ces cercles avec/s'échangeant miituellement.

Pour donner un sens plus précis à la seconde relation, cherchons d'abord à déterminer les coordonnées du centre d'un cercle (X). Si (L) désignent ces coordonnées de même espèce que les (A), tout cercle ([j.) contenant (L) et orthogonal à l'absolu, c'està-dire encore réduit à une série linéaire, sera orthogonal à Çk). Si donc la transformation faite sur les (a) donne

les relations

entraînent d'ailleurs

par suite, on a avec

«4 =:: Cpi Ai -4- Cp2 A2-4- Cpa A3 -j- Cp4 A4,

p..j Li -)- 1X2 1-^2 -}- (^-3 T-^3 + P-4 L.V = O, f^rfl -+- [^2?2-i- |^3^3+ [^4'f-V =^ O

[i-1 À 1 -H [J.2 X2 + îJ-3 ^3 + i^-i '*^4 = O ; Li= If-i- k(j^i,

S(X/-f-/ccp,-)2:=:0.

De plus, comme

F^.=. Af^-A|^-Al-+-A|-(cplA,^-...)^

il faut que le discriminant de la forme quadratique qui est au second membre soit nul, ce qui donne S-pJ = i , et par suite l'équation en A" est

On trouve naturellement deux centres, cjui sont un même élément orienté de deux façons différentes. Quand le cercle est de rayon nul, le centre proprement dit correspond k k=:o, car il appartient au cercle lui-même.

Le lieu géométrique des centres de la série considérée plus haut de cercles bitangents à/ est donc défini par la relation

F2—P1 P-6—Pl Pk~Pl

An. — I. 29

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45o LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

C'esL l'équation d'une série orientée du second degré, ou plutôt d'une série quadratique ordinaire, puisque l'orientation de ses éléments est indifférente, d'après ce qui précède. Au surplus, il n'est pas difficile de voir que

et que, outre la relation So]" = i , on a

415. Parmi les cercles ().) bitangents k / du système considéré, il y en a quatre qui sont de rajon nul, et déterminés par les relations

Li = 0, L^ -+- IJ -4- Lr = o, '- — ■ H — — ■ H '' — — O ;

P-I—Pi Pz — P\ Pk — Pi

ce sont des foyers de la série/, de sorte que cette série a seize foyers.

On retrouve ces seize foyers de la façon suivante : la série ternaire quarlique définie par/et l'absolu ont huit éléments tangents communs, qui peuvent être répartis en deux groupes distincts de quatre éléments, d'après l'équation de f, exprimée comme au n^ 409 à l'aide des variables ().) et (p-); les éléments de ces deux groupes, combinés ensemble, fournissent seize éléments qui sont les foyers de/, et d'après les propriétés de la forme doublement quadratique, les deux g-roupes de quatre éléments tangents considérés ayant même rapport anliarmonique, les seize foyers appartiennent quatre par quatre à quatre séries quadratiques bitangentes à l'absolu, les quatre cercles principaux.

Si l'on considère les séries f pour lesquelles les quatre foyers d'un système sont déterminés, par exemple ceux qui résultent des équations précédentes, il est aisé de voir que leur équation générale est de la même forme que celle de /*, soit /?'^ AJ + . . . = o,

et que l'on doit avoir p',-^=^ —^\ — ; ^^ étant un paramètre arbitraire. ^ ^ ^ 1 -T- Ipi ^

Tous les foyers sont alors communs, et ces séries sont ho mo/o-

cales.

Deux de ces séries contiennent un élément A donné, et il est

aisé de vérifier qu'elles y sont orthogonales, c'est-à-dire que leurs

éléments tangents j sont perpendiculaires.

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