CHAPITRE XV. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE GÉNÉRALE

416. Envisageons, en parLiculier, une série quadratique ordinaire, pour laquelle pJ^ = o, a.r^ ■=. A/,.

Il j a trois séries de cercles bitangents à /*, proprement dits. L'une d'elles, par exemple, a pour liea de centres L, = o, c'està-dire l'un des éléments de seconde espèce de la suite triple conjuguée commune à /" et à l'absolu. Ces cercles sont orthogonaux à cet élément. Ils fournissent quatre fojers, qui se réduisent à deux éléments d'orientation arbitraire, déterminés par les éléments tangents communs à /et F, associés deux par deux d'une façon convenable.

La quatrième série de cercles bitangents à /* se compose des éléments linéaires tangents à /", dont les éléments de contact ont en effet une double orientation. Le lieu de leurs centres est la série

L? \.\ ^ \A Pi "^ Pi ' 7^3 " '

polaire réciproque de / par rapport à F. Les quatre foyers correspondants sont les éléments de contact avec l'absolu des éléments tangents communs à/* et F.

Les distances des foyers aux éléments qui ont même polaire par rapport à /et F sont faciles à calculer.

Les séries quadratiques homofocaies admettent toutes mêmes éléments tangents communs avec l'absolu; en d'autres termes, leurs séries tangentielles forment un faisceau auquel appartient l'absolu. Il est alors facile d'énoncer relativement à ces séries un grand nombre de propriétés, qui ne seront que la traduction métrique des propriétés générales des faisceaux.

417. Fxevenant au cas général, considérons le système de cercles bitangents à/, dont le lieu des centres est (Di), ou

Pi—Pi Ps~Pi ' Pk—Pi ~ '

l'équation de la série quadratique (A|) déterminée par le cercle A^ ==: o est de même

(LiCp2--L2Cpi)2+(LiCp3— .L3Cpl)2-^(LlCp4— L4Cpi)2= O.

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La série linéaire telle que L^ cp^ — ^L2'fi = o contient les centres des cercles A3=o et A4=o. Donc, les centres des trois cercles principaux autres que A, =: o sont les éléments qui ont même polaire par rapport à(A^) et (D^) : ceci suffit à déterminer ces cercles, connaissant (Di) et (A^), puisque l'on sait qu'ils sont orthogonaux au cercle A^ = o.

418. Pour obtenir de nouvelles propriétés, nous allons envisager le problème d'une nouvelle façon, en conservant les coordonnées circulaires ordinaires. L'équation de la série f peut

s'écrire

f\ ^^ fi étant des formes l'une quadratique, l'autre linéaire en a^, a 2, «3. On peut alors, par une transformation ternaire, trouver trois fonctions linéaires A| , A2, A3 de a^, «2, ^3 telles que l'équation de y devienne

et la forme F^2-}- a^

G==AfH-A| + A|-f-A|,

A/, étant égal à ci;,. Ceci revient à rapporter la série f^ et l'absolu à leur suite triple conjuguée commune. Cette série /'^ est d'ailleurs définie par la condition de contenir les éléments communs à / et à l'absolu, ainsi que les deux éléments doubles de la série quartique définie par la série/.

Ici les coordonnées du centre d'un cercle Çk) sont X^, X2? ^3?

y/ — (^^ï + ^2 + ^3)' ^^ ^'«5 ^^2? ^^3? ^4? s'il est de rayon nul : en général, si 7^1 est son rayon, on a, en faisant 2im = i,

/„^Xf + X| + X|) /(X^ + Xl-4-Xl)

Si le cercle Çk) est bitangent à /, en éliminant A4 à l'aide de l'équation de ce cercle, et exprimant que deux séries quadratiques ternaires sont bitangentes, ce qui se fait facilement en écrivant que dans leur faisceau se trouve une série linéaire double, on est

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