CHAPITRE XV. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE GÉNÉRALE

conduit aux équations

ri ri

qi-^9 q^^-^p q^-^p

qi-+-p q2-^p ' qs-r-p

p étant une inconnue auxiliaii^e.

La première équation détermine quatre valeurs pour p; à chacune de ces valeurs correspond un système de cercles bitangents k f; le lieu des centres des cercles de l'un de ces systèmes est déterminé par la seconde équation : c'est donc une série quadratique, liomofocale à la série quadratique polaire réciproque de fi par rapport à l'absolu; de sorte que les quatre séries (D^), (D2), (1)3)^ (1^4) ainsi obtenues sont homofocales entre elles. Leurs foyers sont faciles à définir en partant de /elle-même, puisque la série/ contient les éJéments de contact de /'avec l'absolu. Enfin, la dernière équation exprime que les cercles de l'un des systèmes

sont orthogonaux au cercle fixe

qi-^-p q^-^ p q-i-

Les propriétés précédemment indiquées se retrouvent sans peine. On peut aussi déterminer facilement les séries linéaires doublement tangentes à/; il suffît de supposer )v, = o, et Ton trouve quatre groupes de deux, comme cela devait être.

Cherchons encore les cercles bitangents à / et à éléments de contact confondus ; d'après la propriété déjà indiquée des éléments de contact avec /d'un cercle qui lui est bitangent, les cercles que nous considérons ici correspondront aux éléments de contact des séries (D) avec les éléments tangents communs à ces séries et aux séries qviadratiques ordinaires déterminées par les cercles principaux correspondants. Si (^) est un tel élément tangent à (D,) et touchant le cercle principal correspondant, de centre Ci, en (^), la série / sera évidemment tangente à (C^ x) en (^); si (l') est un second élément de même nature touchant le cercle principal en (x')^ la série/sera de même tangente à (Ci x') en (x'). Si donc on considère le cercle de centre {^^') contenant (x) et {x^)j il est

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évidemment bitangent à/*, et par suite {^i') appartient à Tune des séries D2, D3, D/, , l'élément de contact étant d'ailleurs déterminé par C, et (^?^). Les six élémeats tels que (^^^) appartiennent ainsi deux par deux à ces séries, qui, étant déjà homofocales à D^, sont complètement déterminées par la connaissance de D^ et du cercle principal correspondant.

En outre, de ce fait résulte un théorème facile à démontrer sur les propriétés de deux séries homofocales et d'un cercle.

Il est aisé maintenant d'étudier les cas particuliers qui se présententj du moins quand on suppose la réduction précédemment employée possible.

Tout d'abord, nous supposons que l'équation en p n'admette comme racine aucune des quantités — ^,, — q-j^ — qz-

Si l'équation en p a alors une racine double, on voit sans peine que le cercle principal correspondant devient de rayon nul-, si G, est le centre de ce cercle, Gj est un élément double pour y-, les séries (D3) et (D.,) [(D,) étant confondue avec (D^)] contiennent Gi et j touchent les cercles principaux correspondants.

Si l'équation en p a une racine triple, la série (D3) du cas précédent vient se confondre avec (D^ ) ; G| appartient à (Di ) et est un élément cuspidal pour/; la série (D.^) contient Gi et y est osculatrice au cercle principal correspondant.

Si l'équation en p a deux racines doubles, la série quartique déterminée par /se décompose en une série cubique et une série linéaire tangente à l'absolu. Ges deux séries étant orientées d'après l'équation /=: o, ont en commun les deux centres Gi et G3 des deux cercles principaux, chacun de rayon nul, la série (Di) contient G3, et la série (D3) contient Gi.

Si l'équation en p a une racine quadruple, on est dans le cas précédent, en supposant de plus que G3 coïncide avec Gi, et la série (Dj ) contient Gj,

Examinons maintenant le cas où l'équation en p admettrait la racine — ^,, ce qui exige ou bien que la série quadratique /i soit bitangente à l'absolu, ou bien que 7\, =: o : écartons d'abord le premier cas.

Les cercles bitangents à /qui correspondent à la racine — ^, ont leurs centres sur l'élément )m = o, de sorte qu'ils sont orthogonaux à cet élément, qui joue le rôle de cercle principal; mais.

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