CHAPITRE XV. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERN^IRIi GÉNÉRALE

pour déterminer ces cercles, il faut une nouvelle relation que l'on trouve facilement être

qx-~q-. qi-q-^Z \q\ — q-i qi — qz ^'

qi — q2 ~^ qi~qs~^ 'V ~ ^'

LMnversion conservant / qui correspond aux cercles de ce système devient une homologie involative; ce système de cercles fournit toujours quatre fojers. Quand trois des racines de l'équation en A sont égales ainsi à — y^ , — ■ q^, — c/^^^ la série f est une série quadratique ordinaire. Si la racine — q^ est double, la relation précédente se réduit à

qi-q-. qi-~q:i

les cercles correspondants forment un faisceau; les éléments B, et Bo communs à tous ces cercles sont doubles pour /' qui se décompose en deux cercles; les séries (D3) et (D., ) qui correspondent aux autres racines de l'équation en p contiennent Bj et B2 ; quand ces deux autres racines sont confondues^, l'un des deux cercles dont se compose /est de rayon nul.

Si l'équation en p a deux racines doubles telles que — ^, et — ^2; les deux cercles dont se compose/ sont de ravon nul.

Si la racine — q^ est triple, on est dans le même cas que précédemment; mais les deux cercles dont se compose/ sont tangents entre eux.

Si la racine — q^ est quadruple^ l'un des deux cercles dont se compose /est de rayon nul, et son centre appartient à Fautre.

Supposons enfin que la série / soit bitangente à l'absolu, de sorte que q^ = ^2 par exemple ; la série quartique déterminée par/ a, dans ce cas, ses éléments communs avec F confondus quatre par quatre. Pour les racines de l'équation en p,, autres que — q^, tout ce qui a été dit précédemment subsiste, on remarquera seulement que les séries (D/) correspondantes sont elles-mêmes bitangentes à l'absolu suivant le même élément Q3 que/.

Si la racine — ^^ est simple, on peut supposer, sans diminuer la généralité, que /Vj est nul; les cercles correspondant à cette

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racine sont alors tels que l'on ait 1, = o et

q,kl-^'^J\lO^, ==0;

l'un des fojers correspondants est l'absolu.

On a les mêmes propriétés générales que précédemment.

Si la racine — q^ est double, on a r\-^ /«ij = o ; si r^ et ]\ ne sont pas tous deux nuls, on a /^^ X2 — ■ r^'^^s^^ o^ avec la dernière des relations précédentes , la série /"a un élément double M appartenant à l'absolu et à ùg, et le lieu des centres des cercles qui correspondent à la racine — q^ est O3M.

Si l'on a à la fois ]\ ■=. /%= o, la série / se décompose en deux cercles concentriques.

Dans ces deux cas, il J a nouvelle décomposition de /i quand les deux autres racines de l'équation en p sont égales.

Si la racine — ^i est triple, on a

r\-\-r\=^o et /^ — ^1 (^1— ^3) ^= o ;

si t\ et i\ ne sont pas nuls, tout se passe comme dans le cas précédent, sauf que M est cuspidal pour la série/; si r>^ ■==. r^-=^ o, la série/* se compose de deux cercles coïncidents.

Si la racine — q^ est quadruple, sans que i\ et r^ soient nuls, la série /se décompose en une série cubique contenant M et l'élément tangent à l'absolu en M; si r^ et /'o sont nuls, la série / se compose de deux cercles coïncidents de rayon nul.

Tout ce que nous venons de dire est facile à vérifier directement et devient intuitif comme application des théories de la Géométrie quaternaire. On remarquera que, lorsque la série orientée/ a un élément double ou cuspidal n'appartenant pas à l'absolu, notion que rendra claire l'étude de la Géométrie quaternaire, la série quartique ordinaire, déterminée par /, a de même un élément double ou cuspidal; si la série /a un élément double ou cuspidal appartenant à l'absolu, la série quartique déterminée par/ est des espèces (B') ou (E^) du n^ 359, l'élément double spécial coïncidant avec celui de/. D'ailleurs, dans le cas où la série/< est bitangente à l'absolu, la série /est elle-même bitangente à l'absolu, et seulement dans ce cas.

419. Si, d'une façon générale, A'^, A4, A!p A',^ sont des fonctions

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