CHAPITRE XV. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE GÉNÉRALE

linéaires de a^^ a^^ ^3, cir^^ l'équation d'une série orientée du second degré peut s'écrire

/ étant une forme quadratique, et peut être interprétée de la façon suivante : si l'on considère l'élément (A'), de coordonnées ordinaires (a), et un éiément tangent au cercle A^= o contenant (A'), en désignant par tt la distance de (A^) à F élément de contact de cet élément tangent, et par ^\ le coefficient de af^ dans la fonction linéaire A^-, on a, en supposant toujours lim = i,

2sm2-

l'équation de la série/ peut donc être regardée comme établissant une relation quadratique entre les carrés des sinus des moitiés des distances t\^ t'^^ t'^, t\] et réciproquement.

Si le cercle AJ== o est de rayon nul, ti est la distance de l'élément (A^) au centre de ce cercle; si ce même cercle se réduit à une série linéaire de coordonnées (^'), on a, en appelant ti la distance de (A'^) à cette série

sin ti

et ce qui vient d'être dit subit une modification évidente; il en est de même si le cercle A'^-=^ o est l'absolu, puisque alors

L'équation de / peut, par exemple, être ramenée à la forme A',A',-A;,A;=o et l'on a, par suite en général, une relation telle que

SI II— sm — = /r sm— sm— ?

k étant une constante, pour définir cette série y.

On remarquera que cette même forme, qui peut être obtenue d'une infinité de façons, permettra de transporter immédiatement aux séries y, avec traduction convenable, les propriétés des géné-

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ratrices rectilignes des quadriqiies dans l'espace ordinaire; mais nous n'insisterons pas sur ce point.

420. Supposons j en particulier, ce que Ton peut toujours faire en profitant de la relation qui relie les coordonnées (A^) d'un élément quelconque, que la forme / ne dépende que de trois variables A',, A'^, A3 : on aura alors de nouvelles propositions faciles à énoncer.

Si Ton a plus particulièrement

d'où

• ., ^i j ■ il • f'i SI n ^ — = /t SI n — SI 11 — ?

on voit que les cercles Â^ = o et A3 = o sont bitangents à/ appartenant à un même système, leurs éléments de contact avec / appartenant au cercle A', =:o. D'ailleurs, tous les cercles bitangents à/, du même système, sont donnés par l'équation

p5 A24-2pip2A\4- pi A'3 = 0,

p, et po étant des paramètres variables; ils appartiennent au réseau (A'^, A',, A3). Il est évident que deux cercles quelconques bi tangents à / de ce système ont leurs éléments de contact avec/ appartenant à un même cercle du réseau; et réciproquement, tout cercle du réseau détermine par ses quatre éléments communs avec y, associés convenablement deux par deux, deux cercles bitangents à/. On est ici ramené aux propriétés des séries quartiques ordinaires.

On peut aussi, A'^ = 0, Â'^ = o, A3 = o étant trois cercles d'un même sj^stème bitangents à/, employer l'équation

qui donne

kl sin h /C9 sin h /^s sin — = o.

En particulier, un ou plusieurs des cercles A'^=: o peuvent être de rayon nul, c'est-à-dire être des foyers d'un même système.