CHAPITRE XV. — LA GEOMETRIE METRIQUE TERNAIRE GENERALE

tique ordinaire. On peut d'abord considérer A'^ , A!,, A3 comme des fonctions linéaires de a^, «2, ci-s seulement, et si l'équation

de f est alors

on en déduit une relation telle que

sin^ ti = k sin t^ siii t-^ ;

on peut multiplier facilement les remarques analogues.

Si maintenant A',, A',, A3 peuvent aussi contenir «4, l'équation A'^" — A!, A3 = o conduit aux mêmes conséquences qu'au numéro précédent. Plus particulièrement, on peut supposer que le cercle A'^ = o est l'absolu; alors A', = o et A3 = o sont deux séries linéaires contenant chacune deux éléments communs k f et à l'absolu, et l'on a simplement

sin t^ sin ^^ ~ k.

On peut employer aussi, avec les mêmes conséquences, l'équation

du numéro précédent.

fci l'on peut supposer^ ce que nous allons faire, que

A 2 = h ( [Xi a i -f- p-2 <^2 + P-3 C^Z-r- \H- «^4 ) ?

A3 = Il [ ( \Xi Œi + |JL2 «2 -\- [i^-i <^3 ) ^- ;J-4 Ci\. \ ,

A'^ = Xi ai -f- ^2 <^2 + ^3 <^3 + ^^\- <^k'

Si alors on emploie la forme A'," — A!, Ag^o, il faut X4 = o, pour que cette équation représente une série quadratique ordi-

naire, et en remarquant que sin-— = cos- — ? on a simplement

sin t-i = k sin t^;

la série linéaire A', = o contient d'ailleurs les éléments de contact avec /du cercle A'^ = o ou A3 — - o.

Ceci s'applique en particulier si A'^ ===0 est un foyer de /.

Si maintenant on emploie la forme

il faudra avoir

D'ailleurs, ici

sin— yX/^-i-sin— \/A[ji4H- cos— y//z'[j,4 = o,

et l'on voit que l'on peut écrire encore

t] =b ^2 = const.

Ceci s'appliquera en particulier aux fojers.

Nous avons ainsi retrouvé presque tontes les propriétés métriques fondamentales -des séries quadratiques ordinaires sur la sphère. Celles que nous n'avons pas signalées sont pour ainsi dire immédiates. On n'oubliera pas d'ailleurs que les séries quadratiques ordinaires ont leurs séries tangentielles de même nature, et que par suite on pourrait sans peine énoncer à leur sujet de nouvelles propriétés semblables aux précédentes, qui seraient d'ailleurs des cas particuliers des propriétés plus générales des séries orientées de seconde espèce et du second degré.

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