IV. — Les invariants A

oO. Soient n formes quelconques semblables, renfermant cliacune n coefficients; si ces formes sont liées par une relation linéaire à coefficients constants, il en est de même de leurs transformées après une substitution a-. Par suite, le déterminant A des a- coefficients de ces formes est un invariant de ces formes; cet invariant est d'ailleurs un combinant.

Supposons maintenant q formes semblables, à une seule série de variables, (^) par exemple, /" ^ , /2, ..., fq^ renfermant chacune p -f- s coefficients, c'est-à-dire de degré p par rapport aux (^), et soit q <ip -^ \, Si ces formes sont liées par une relation linéaire, ce fait subsiste après ime substitution a-; pour l'exprimer, il faut écrire que tous les déterminants d'ordre q^ tirés de la matrice formée par les coefficients, sont nuls. Nous allons faire voir que l'on peut aussi écrire simplement qu'un Invariant convenablement choisi, renfermant des variables, est nul identiquement.

Si d'abord /^^, , /^^o, . . . , fpj^^ sont p — q -\- i formes arbitraires semblables aux //, il est clair que si les /? 4- i formes// dans leur ensemble sont liées par une relation linéaire, il en est de même de/,/2, .... /p, puisque les autres/- sont arbitraires. La condition cherchée est obtenue d'après cela par l'évanouissement d'un invariant A qui contient /?^ — q -\- \ séries de coefficients arbitraires.

On peut diminuer, et cela de plusieurs façons, dans A le nombre des arbitraires : nous allons examiner spécialement deux de ces façons.

D'abord, g étant une forme arbitraire de degré q^ on peut prendre pour les formes auxiliaires /^^, , /^^o, •••, //?+i les produits x^'*^ g^ ^f~^~'^2^': • • • ? oc^"^ g, qui forment évidemment un système invariant, de sorte que toute relation linéaire entre les / et ces formes entraîne une relation linéaire entre leurs transformées. Mais il faut montrer que si cette relation linéaire

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