CHAPITRE II. — LES FORMATIONS INVARIANTES GÉNÉRALES

est supposée exister, c'est-à-dire si rinvariant A correspondant, invariant des// et de g^ s'annule, les formes// elles-mêmes sont liées par une relation linéaire, en supposant, Joien entendu, la forme g arbitraire.

La forme g ajant ses ^ racines arJjitraires, il résulte de TJijpothèse que l'on peut déterminer des quantités X/ non toutes nulles, telles que ).</ + ^2/2 + • • • -f- '^^qfq '^oit une forme admettant q racines arbitraires; si (a), (Z>), (c), . . . sont ces racines, on a donc

fiicc) Ma) fi{b) Mb) flic) Me)

fq{^) f<l{b)

Me)

ce déterminant étant nul, on a une relation telle que

les Oi étant indépendants des (a); changeant les (a) en (^), on en déduit immédiatement que les // sont liées par une relation linéaire à coefficients constants.

Nous avons supposé ici que les mineurs du déterminant relatifs aux éléments de la première ligne n'étaient pas tous nuls; s'il en était ainsi, on raisonnerait de la même façon sur l'un de ces mineurs; et ainsi de suite.

En second lieu, montrons que l'on peut choisir pour g la forme simple (^\x)^^ qui ne dépend plus que des arbitraires ç, et ^2^ ^'^l'i^t^les que l'on ne suppose pas figurer dans les coefficients des//. Par hypothèse, on a, les (^) restant arbitraires, une relation telle que

?l/l -^ ?2/2 -S- • • . -f- ?ry/<7 "H ^ (? | ^X^ == O,

et l'on peut évidemment supposer que les cp/ sont des formes de même degré en (^), tandis que i est une forme de degré p — q par rapport aux (^), contenant aussi les (Ç).

La relation précédente ayant lieu identiquement, on a aussi, en prenant la polaire par rapport aux (^),

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choisissons les ('/)) de façon que le coefficient de (ç|^)'/"' dans cette relation admette nne racine arbitrairement donnée d'équation (^^'M^)=:o. Si ceci n'est pas possible sans que les coefficients de la relation deviennent tons niils, les cp/, ayant leurs jacobiens nuls deux à deux, sont de la forme )v/cp(^), les X/ étant des constantes; et, pour la même raison, on aura A(^|^)'? = ç)(^)^(^) ; cette dernière hypothèse entraîne g^zo, et par suite on a une relation linéaire à coefficients constants entre les/*/, de sorte que la proposition est démontrée.

Si, au contraire, les coefficients ne deviennent pas tous nuls, on a une relation telle que

où les notations s'expliquent d'elles-mêmes.

En appliquant à cette relation le même procédé et continuant de la même façon, on rencontrera une relation à coefficients constants entre les y'/, ou bien on sera ramené finalement au premier cas, c'est-à-dire à une relation telle que

g étant une forme aux racines arbitraires (^), (ç^'^), . • -, (i^^~'^).

Donc, dans tous les cas, l'évanouissement identique du déterminant A des coefficients des formes fi et des formes auxiliaires x^~^^Çi\xY^ x^^^~'^~^ X2(^\xY^ ..., exprime l'existence d'une relation linéaire entre les formes/'/.

La marche de la démonstration montre en même temps comment l'on pourrait faire d'autres hypothèses sur la composition des formes auxiliaires adjointes aux fi pour former le déterminant A.

On pourrait aussi, pour exprimer que les q formes/} sont liées par une relation linéaire, exprimer que leurs dérivées partielles semblables d'ordre q — i sont liées par la même relation linéaire; comme il y a ^ dérivées partielles d'ordre q — i , on voit que l'on est amené à égaler à zéro le déterminant formé par les dérivées partielles d'ordre q — i des q formes //. Réciproquement, il est aisé de démontrer que cette condition est suffisante. Mais ce déterminant, qui est un invariant, est de même degré par rapport aux [x) que l'invariant A obtenu en dernier lieu, quand on y remplace ^, par Xo et ^o par —x^^ ce qui ne change rien à ses pro-

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