CHAPITRE XVI. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE SPÉCIALE
par l'équatloQ
et cette même substitution transposée établira la correspondance entre les éléments (j) et (y^), à la condition de faire
On est donc ramené à chercher les substitutions, dans un espace à trois dimensions, cjui conservent un absolu défini par
les (jk) étant les variables d'espèce opposée aux (a). Mais ici, le discriminant de la forme F^^-f-jK^ est nul, ce qui va modifier les théories du Chapitre précédent.
438. Prenons l'absolu sous la forme F= — 1X200^^=1 o] on trouve alors immédiatement, en s'aidant de ce qui a été dit sur les mouvements en Géométrie métrique ternaire générale, Cjue les substitutions cherchées, que nous appellerons substitutions conformes de première espèce, sont de la forme
ai = Xj a ^2 = X2C< CC3= ^30:
- (Xi'^ a 2 -I- w 2^ y/3 -i- (JL) 'j Cl) 2 s/'-^ -''\
a^, — X4 a'i 4- (.0| ii^\ s/'i 7/2 -i- CO2 0/2 V 2- -3 -i- ( w^ w ^ -h 0)2 ^\ ) a'- ,
).,, ')v2, )v3, A4, o),, co', , cà2, to'^ étant des paramètres arbitraires. Elles donnent inversement
^'^ = Wl ^2 -i- 0.)!^^ ^3 -H Wi CO'^ /^ \/-2X2^2i a? 3 == OJ I :Z72 -f- W 2^ :r3 -I- W2 ^2 V '2 \/'lX2 ^3, S/'1X\X.^ =■ COi 0)2/2^2+ ^1 ^2 \/2.T3-h ((jO| W2 -f- W2 w'^ ) /'2:r2^-3.
Ces substitutions forment un groupe à huit paramètres, compre nant en particulier le groupe des similitudes et les similitude symétriques. Il leur correspond des invariants conformes, sur lesquels il est inutile d'insister.
Sans étudier les éléments doubles définis par les substitutions précédentes, remarquons que les séries linéaires (a'), qui sont des An. — I. 3i
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transformées de séries linéaires, vérifient la relation
X4 a'j H- oj 1 (.û\ \/'2 1'^ 4- W2 W2 yl «3 = 0.
On peut donc choisir l'élément fondamental 0, de façon que };4 = o, sauf si l'on a à la fois co^ = co'^ = o, ou w'^ =: 032= o. Dans ces deux cas, les séries linéaires considérées sont celles qui contiennent l'élément double (g) de l'absolu.
Supposons que l'on puisse prendre )^4 = o, et cherchons alors quand il j a involution. Un premier cas, auquel peut se ramener une substitution conforme quelconque du même genre par l'adjonction d'une similitude ou d'une similitude symétrique convenablement choisie, correspond aux hypothèses
X2 = X3 = X4 = o. COi -f- tO^ = 0, Xi = i tOi CO^ — ^2 Co'i ).
Les cercles doubles pour cette transformation sont d'abord le cercle
— o:)2^'2 -f- to'i ^3 -f- coi /a y'ÀX^^r-^ = o,
qui se décompose en deux éléments contenant {g')j à éléments orientés; puis tous les cercles d'un réseau, leurs coordonnées vérifiant la relation
— Lù\ao-t- ojo ^3 -i- (.0 1 y/Li a4 — 0.
Les cycles équivalents à ces cercles sont à une distance constante k du cycle spécial formé par (g) et l'élément (A) d'équation
on a d'ailleurs
to.1/2
• cosA- =
