CHAPITRE XVI. — LA GEOMETRIE METRIQUE TERNAIRE SPÉCIALE

espèce. Si l'on a coi =:: co'^ = o, il vient cosA"=:o, et l'on a une simple symétrie; si coaw'^ r= o, l'élément (A) appartient à Tabsolu. Un second cas d'involiition correspond anx hypothèses

X^=o, a)i -f- co^ = o, Xi = o)ito'^ — ^Wo^n X2^*^'i — XsWo — o.

Ici les cercles doubles forment deux faisceaux, dont l'un est composé de cercles décomposables en séries linéaires contenant {g)] le lieu des centres des autres est un élément (B) et une sjmélrie par rapport à (B) ramène ce cas au précédent.

Si cependant Tune des cjuantités (02 ou co'^ était nulle, un chani^ement de coordonnées permet de supposer ).2= ^^3 = o, ce qu'on pourrait faire aussi en général, et l'on est ramené au cas précédent, non plus par une symétrie, mais par l'emploi du mouvement simple

Examinons maintenant le cas où l'on ne peut prendre )v, = o. Un changement de coordonnées permet de supposer Ao = ^^3= o. Les cas d'involution correspondent aux hypothèses

ai =^ dz toa^ , a2=wa2, as =00X3, a; = }.4aj zp coa' ,

d'où

X\=^ ± <JÙXl'^\l^^'lX^X■^, œ[2=^(JOX2, x'^=(OX-^,

Y'ix^Xii = zjz (.0 \/'2X2 x'.^ ; de plus, une symétrie de la forme

^1—^1, X-i^-OiX.^^ X-s=-X^.

composée avec ces substitutions, leur conserve leur caractère involutif.

Une substitution conforme quelconque pour ' ii ^ ^^^ peut

être supposé nul peut se ramener à l'un des t ^^^^ précédents par l'adjonction cFune similitude ou d'une simiU ^^^^^ symétrique convenable.

Pour la substitution

'' - -' j.%, «,-X,a;-coa,,

les cercles doubles sont l'absolu r

A touâ ceux dont le rayon est

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éaal à — )^-^, deux cercles correspondants ont même centre, et

la somme de leurs rayons est — A — • Pour la substitution

«1 = — WGC'^ , (y.2= Wa'g , ^3 = 007-3 J ^4 ~ "^^4 ^-1 "^ ^"^^4 '

les cercles doubles sont tous ceux qui se décomposent en deux éléments contenant (g), et le cercle particulier

Si (y) et (y) sont deux éléments correspondants, ils sont alignés avec (g), et l'on a

Ù^ est d'ailleurs le centre du cercle 2co^^ — X4 ^20^0^3== o, dont

le rayon est — ••

On fera les mêmes remarques qu'au n° 404 sur les substitutions conformes relatives aux cercles.

^9. Soumettons maintenant de la même façon les coordonnées^ 6J^i, ^2, ^3, a4 d'un cycle à une substitution linéaire, et envisageoms en particulier les substitutions linéaires sur les (a) qui définissent en même temps une transformation des éléments (?). Comme au n° 400, on voit tout de suite que les substitutions cherchées seront celles qui conservent la série quaternaire définie par l'équatïen quadratique 0^2= la^ci'^ — ai <24= o; et la substitution transposée appliquée aux variables

liées par une reh^tion quadratique, définira la transformation correspondante sur le5(i). Dans l'hypothèse, que nous conserverons, où F = — 2 ^2 -^3 7 ^'^^ variables sont simplement, en gardant les simplifications du n^ 432, i\^\'i^ — i\^\^^^ — 2^1 ^o? ^?-

Ces substitutions tr.^nsforment un cycle de rayon nul en un cycle de rayon nul et, de plus, conservent la distance de deux cycles.

440. Nous pouvons définir }l^ élémeu t(ç) par les deux systèmes

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