CHAPITRE II. — LES FORMATIONS INVARIANTES GÉNÉRALES

priétés; de plus, on voit tout de suite que ces deux invariants ont même source, à un facteur numérique près; donc ils coïncident à ce facteur près. Il en résulte une transformation de déterminants qu'il serait facile de justifier directement.

ol . Les considérations qui précèdent nous permettent d'obtenir sous une forme particulière un système invariant tel que l'évanouissement de toutes les fonctions de ce système soit la condition nécessaire et suffisante pour que tous les déterminants d'ordre q tirés de la matrice formée par les coefficients des // soient nuls. Elles permettent aussi, d'une façon plus générale, d'écrire des conditions nécessaires et suffisantes pour que tous les déterminants d'ordre q tirés d'une matrice à q lignes soient nuls, et cela sans aucune hypothèse préalable.

Les applications possibles sont nombreuses : en voici dès maintenant quelques-unes.

Pour écrire que deux formes semblables /, = a^V', f^ = i^xv^ . sont identiques à un facteur près, nous avons la condition A = o. suivante, où l'on a remplacé ?, par ^27 ^2 par — Xi :

Clp,0 P<^p-\,\ 7 <^<^p-2,2

7 P^P "Or ^P,0 P0p-l,l -— ■ ^p-2,2

G Xl

— 1 Xi X2

CIq^P

bo,p

1x1X2 oo\

cet invariant ne diffère que par un facteur numérique du jacobien J(/, ^), d'après ce qui a été dit plus haut.

Considérons les dérivées partielles d'ordre h de la forme /= a^p,

h étant au plus égal à-? de sorte que leur nombre est au plus (^gal à - -}- I, et leur degré au moins égal à ^. Si ces dérivées partielles, qui forment un système invariant, sont liées par une relation linéaire, ce fait est exprimé par l'évanouissement du combinaat A, invariant pour/, où l'on a, comme plus haut, remplacé An. - I. 4

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les (^) par les [x) :

{p — h)ap-i^i (p — h)ap-2,2

(^p-hji {p — h)ap-h-iji+i — (/i -+- 1)^1^2

En particulier, si p est pair et h égal à —, cet invariant est indépendant des (x).

L'invariant précédent ne diffère que par un facteur numérique du suivant, d'après ce qui a été dit plus haut,

C)2hf

sthf

dx\''

dxl^'-^dx^

d2hf

32hf

dx\''-'^dx^^

dxy^~^dx\

àlhf

dx\àx\ èx'l-^dx\''^

dx\ àx'^ dx\-^ dx(^+'^

dxV

le déterminant A^ est d'ailleurs le déterminant A relatif aux dérivées partielles d'ordre h de la polaire d'ordre 2 A de /par rapport aux (^) remplacés par les (j/), considérée comme fonction des {y)- Pour A =: I, A^ est le hessien de f k un facteur près; A en est une transformation.

52. Si les q formes / , /*2, . . . , /^, dépendant des {x) et de degré />, sont liées par r relations linéaires distinctes, on peut exprimer ce fait de la façon suivante. Entre q — r + i quelconques des formes données existe une relation linéaire; si donc g^^ gi-> •••? gp-qj^r sont p — q -\- 1^ formes auxiliaires arbitraires semblables aux//, tous les déterminants d'ordre p + i tirés de la matrice formée par les coefficients des p -+- r formes /• et g^ sont nuls; et réciproquement. Alors considérons r — i formes nouvelles auxiliaires, arbitraires, Ai , Ao, . • . , hr-\ de degré p -^ r — i par rapport à des variables (y) ; en appliquant ce que nous avons dit précédemment, on obtient la condition cherchée sous la

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