Prenons maintenant l'équation de la série / en coordon

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nées circulaires ordinaires sous la forme

comme au n^ 418, et faisons la même réduction, de sorte que

/rzr ^lAf H- ^2A|h-^3A| -1- 2A4(7;-i Ai + r2A2-r-r3A3),

G=.Al-f-Ai + Af,

A4 étant «4 et A,, A2, A3 étant des formes linéaires en a^^ a^, «3. Les coordonnées du centre d'un cercle (X) sont ici X,, }.2, ^35 et si T) est son rayon, on a

)v étant toujours la constante métrique, sans qu'il puisse en résulter de confusion.

Envisageons d'abord le cas d'une série quadratique ordinaire, de sorte que r, = r2= ^'^s = o; la transformation précédente est celle qui consiste à rapporter la série / et l'absolu à leur suite triple conjuguée commune, et F a ici la forme A^ + A3 = o.

L'élément A^ = o est le centre de la série quadratique, tandis que les éléments de première espèce définis par Aj = o, A3=::o et K^ = o, A2== o en sont les axes : les raisons de ces dénominations sont évidentes, d'après les transformations déjà étudiées de la série/" en elle-même.

Soit a2 la distance du centre à l'un des éléments tangents à / contenant l'axe A, = o, A3 ==: o ; et ag la distance analogue relative à l'autre axe. On a

si <:/, (?, é sont les invariants des formes /et F au sens ordinaire, de sorte que

d=qiq^^q^, e = qiiq^-^ qz), e' = qi,

on a donc, pour déterminer 0.2 et a3, l'équation générale

e cl

L'invariant y^ relatif à / et F est

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