CHAPITRE XVI. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE SPECIALE
les (^) étant les coordonnées de seconde espèce; égalé à zéro, il représente un cycle à orientation arbitraire, ayant même centre que/, lieu des éléments (Ç) tels que leurs deux éléments communs avec jf soient perpendiculaires.
11 n'y a pas lieu de considérer l'invariant h.
qi qz — q^.
\\ Il
qs
qi q2—q3
Les cercles Çk) bitangents à f sont d^abord les cercles décomposables en éléments confondus contenant (^'), vérifiant
On a ensuite les éléments tangents k f, vérifiant
qi q2 qs
et enfin deux systèmes de cercles bitangents proprement dits définis par les relations
ou bien
Ces cercles ont leurs centres appartenant aux axes; nous les avons déjà étudiés cjuand ils se décomposent; mais, de plus, on voit que chaque système contient deux cercles de rayon nul, appelés foyers. Les distances y2 et ys du centre aux foyers sont définies par
>,2 y 73—^2 .,2)2ilZI^.
" qi '' qi
les foyers sont fournis par les éléments communs à /" et à l'absolu associés deux à deux.
Si une série cjuadratique /' a les deux foyers d'un même système communs avec/, son équation est de la forme
^i'^? + (^2-f- ^)Al-h(5'3-+- w)A|==o,
Cl) étant un paramètre arbitraire, et les deux autres foyers sont aussi communs. Ces séries sont homofocales. Des séries homofocales forment un faisceau comprenant l'absolu, d'où un grand nombre de propriétés connues s'énonçant immédiatement.
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449. La réduction supposée au n" 447 n'est pas toujours possible. Le cas le plus important dans lequel elle cesse de l'être se présente lorsque la série quadratique / contient l'élément double [g) de l'absolu. On peut alors prendre /"sous la forme
f ^- pxkl^ IJH^k^k^^- o,
l'absolu restant
La série quadratique est dile pa/'aboliqae ; l'élément défini par Al = 0, A3=: o est son aœe^ et A, = o définit son sommet; l'élément de contact de Ai = o avec/, soit K^ = o, A2= o^ est perpendiculaire à l'axe. Les invariants de /et F sont
d~—p^p\.^ e= — pi, e'~o; l'invariant y^ de /et F est ici
égalé à zéro, il définit, outre (g)^ une série linéaire qui s'interprète comme précédemment.
Comme cercles bitangents à /, on trouve deux fois la série des cercles décomposables en éléments confondus contenant (g); les éléments tangents à/véï'ifiant la relation
l',= o, PV4^ 27^1/52^1^^3= O,
et enfin une série de cercles proprement dits :
l^^=z o, pjll -t-- •2P1P2X1I3 — PIII = O.
Ces cercles ont leurs centres appartenant à l'axe; il existe un seul foyer proprement dit, défini par X2 = op] "ki + 2/>2)^3 =^ o ; sa distance au sommet, [3, est définie par
450. Revenons maintenant au cas général. Les propriétés correspondantes résulteront sans peine de ce qui a été dit au n° 418, si l'on y prend G sous la forme s A^ -[- A^ + A3 H- A^^ et si l'on fait ensuite un passage à la limite en supposant que s devienne nul.
Les cercles bitangents à /, en dehors de ceux formés de deux
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