CHAPITRE XVI. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE SPÉCIALE

éléments confondus contenant {g)^ sont définis par

rf ri 7'.

q\ ^2+p qz-

■ A^, = Oj

^1 qi~^9 q-i-^

de sorte qu'il j a trois séries de tels cercles, correspondant aux trois racines de la première équation, p étant une inconnue auxiliaire.

Les lieux des centres des cercles de ces séries sont trois séries quadratiques (1)2)5 (^3)? (^''O' homofocales entre elles et à la série quadratique /, ; de sorte que leurs fojers sont faciles à définir en partant de /.

Les cercles du système cjui correspond à (D/) appartiennent à un même réseau, et sont à une dislance constante ki de la série linéaire (B^)

qi "" ^2+ p/ ' ^3+ p/ ~ '

p/ correspondant à (D/); d'ailleurs

en faisant ^ini ■=■ \ .

Les cercles principaux (A/) du n°418 deviennent les cercles décomposables

qi-^pi q-3-

Les cercles (A3) et (A4) par exemple appartiennent au réseau des cercles bitangents à/, correspondant à (Di). On a, par un passage à la liinite évident,

cosAi A 2 == cosA'i COS/C'2.

Chaque système de cercles bitangents à y comprend deux cercles de rayon nul ; leurs centres, communs aux séries (D/) et (B^) correspondantes, sont les six éléments tangents doubles de / autres que les éléments de l'absolu.

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Les séries décomposables contenues dans un système ont déjà été étudiées.

La propriété du n° 417 modifiée convenablement montre que le pôle par rapport à (D/) de la polaire de (By) par rapport à l'absolu a lui-même, par rapport à l'absola, même polaire que (By) par rapport à (A/); ou bien encore appartient à la polaire de la polaire de (Bj) par rapport à l'absolu, prise par rapport au cercle décomposable (A^), polaire réciproque de (A/) par rapport à l'absolu.

Appelons Q l'élément Ai = o; un élément quelconque contenant (g) a en commun avec / quatre éléments répartis en deux groupes, et les deux éléments d'un même groupe sont tels que la somme des distances de Q à ces deux éléments soit constante et

éeale à — 2 0^ ~ , soit 2 -a.

^ ^ Ci

On a aussi

ilBi= [j. cos/c/.

Ces propriétés permettent de construire (B3) et (B/, ), par exemple^ connaissant (D2) et (B2) ainsi que /{■2, et de calculer /fg et /f/,.

On voit encore sans peine, en s'aidant de la propriété évidente . des éléments de contact avec f d'un même cercle bitangent, et cherchant les cercles à éléments de contact confondus, comme au n° 418, que ces cercles sont au nombre de douze et que les séries (D3) et (D^) par exemple contiennent deux par deux les quatre éléments contenant deux éléments communs à la série tangentielle de (D2) et au cercle (A^). De plus, les éléments de contact de (D3) et (D4) avec les éléments indiqués ci-dessus sont perpendiculaires à (B2), ce qui détermine sans ambiguïté (D3) et (D4), homofocales à (D2) qnand on connaît (A2) et (B2).

On peut multiplier les propriétés des séries que nous venons d'étudier; mais ce qui précède suffit pour en donner une idée nette.

On pourra aussi discuter les différents cas particuliers, comme au Chapitre précédent; et, en outre, on pourra envisager le cas où la série y^ est parabolique; il ne reste alors que deux systèmes de cercles bitangents, et les séries (D3) et(D;,) correspondantes sont paraboliques et homofocales.