CHAPITRE XVI. - Lk GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE SPÉCIALE

s'écrire

f(A\, a;, a;, Ai) =..0,

f étant une forme quadratique des A^-, qui sont elles-mêmes des fonctions linéaires des coordonnées circulaires ordinaires a^ , ^2,

Si un élément (A^) a pour coordonnées ordinaires (a) et si Ton considère un élément tangent au cercle A'^= o, contenant (A^), en désignant par ti la distance de (xV) à l'élément de contact de cet élément tangent, c'est-à-dire encore la distance du cycle équivalent à A^i= o au cjcle décomposable formé de (A^) et de (^), on a, comme au n^ 419,

^sm^^ = -^ ,

(X)'- étant toujours le coefficient de «4 dans Ai et 2 im étant égal à i . D'ailleurs si r/ est le rajon du cercle A^= o et si di est la distance de son centre à (A^), on a

. Ji di 1 sm^ — =1 o

2 Fi

Si le cercle A^-=:o est de rajon nul et se réduit à une série linéaire de coordonnées {^), dt étant la distance de cette série

à (A^), on a

Si le cercle A'^--- o est l'absolu, on a

Si le cercle A'^--^ o est décomposable en deux éléments contenant (^'), son centre est toujours défini; soit A/ la distance constante d'un élément du cercle à un élément quelconque du centre, et de même dt la distance de (A^) à un élément quelconque du

centre ; on a ici

s in di A/

sin/c, cp^^-F^.

En appliquant aux différentes formes de l'équation / == o, ces différents résultats, on définira, comme au Chapitre précédent^ la

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série f par des relations métriques simples qu'il est inutile de développer.

452. Envisageons maintenant une série orientée de seconde espèce, définie en coordonnées cj^cliques ordinaires par l'équation quadratique

/(ai, a., aa, a^) = o, jointe à la relation

On trouvera, en général, quatre fonctions linéaires A^ des (a),

telles que

r = 2aia4 — agas = Af -h A| -i- A|-f- Af l'équation d'un cycle Çk) sera

XiAi-i-XsAs-F XsAs-f- X4A4 = o, et deux cycles ().) et (jj.) seront orthogonaux si l'on a

Xi p-i -f- Xo |J.2 4- Xa |j.3 -f- X4 [J.4 = o, tandis qu'un cycle de rayon nul sera défini par

Xf-f-X|-i-X|-4-X|=::.0.

On définira les cercles principaux de la série/* comme au n° 412, ainsi que les substitutions linéaires qui conservent la série f en même temps que la forme F; et l'on obtiendra toutes les mêmes propriétés générales qu'aux n^^ 412 et suivants, pour ainsi dire sans modification.

4S3. D'après son équation, la série/ est une série quartique de seconde espèce, admettant les deux éléments de l'absolu comme éléments doubles; et réciproquement. Les deux groupes de quatre éléments tangents à / contenant les éléments de l'absolu déterminent par leur combinaison les seize foyers de la série/*, appartenant quatre par cjuatre aux cercles principaux, ainsi qu'il résulte aussi des propriétés de la forme doublement quadratique à variables binaires.

Les éléments tangents à /suivant les éléments de l'absolu eux-