CHAPITRE III. — LES SYSTÈMES LINÉAIRES

puis, à cause de l'identité

il vient

et par suite, en fonction de k\^ on a

7/1 7 ï II 7 1 '^\ — 1 // ^1

Al I — kl Al /Cl — l

58. Il peut arriver que deux ou plusieurs de ces rapports deviennent égaux. On a les différents cas suivants :

(a) /ci = k'^ = I , alors /c2 = k'.^ = co, k^ = k\ — o. (x) et (jk) coïncident, ou bien (z) et (^).

(b) ki= A-g = o ; alors k^ = k'^ = i , ks= k'^ — co. (^x) et (^) coïncident, ou bien [y) et (^).

( c) kl =:: /{:2 = co ; alors k^ — k\ = o, k-^ — k'.^ = i .

(x) et (t) coïncident, ou bien (y) et (z).

(a) /ci =k\ = — i; alors /c2 == k'^ = -7 k^ = k'^^ = 2.

On dit dans ce cas que (x) et (y) sont conjugués harmoniques par rapport à (z) et (t), et inversement.

( è ) /ci = ^3 = 2 ; alors Â:2 = k'^ = — i ; /cs = /»^'i = - •

(^) et (^) sont conjugués harmoniques par rapport à (y) et (t), et inversement.

( c) Xti = /r^ = - ; alors /i:2 — /:\ = 2, /cs = k'^—- — i .

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i^x) et (^) sont conjagLiés harmoniques par rapporta (y) et (^), et inversement.

3^ co désignant une racine cubique imaginaire de l'unité,

/Cj = /{-^ r= /C3 = — Cl> , k\ = k\ = /C3 — — ^ W'^.

On dit alors que les quatre éléments (^), (jk)? (-s)? (0 forment une proportion équianharnio nique ,

En particulier, on voit que si deux des quatre éléments coïncident, les rapports anharmoniques ont deux par deux les valeurs o, ï, 00. Il en est de même si les quatre éléments coïncident deux par deux. Si trois au moins des quatre éléments coïncident, les rapports anharmoniques sont indéterminés.

S9. Dans les cas particuliers examinés, les équations qui définissent les rapports anharmoniques sont, en appelant — Fin-

Pl =r o, p2=0, pl~p2=0;

pi-f-p2=:.0, pi— 2p2=0, p2— 2pi=0;

PI — pips-t-pi^^o-

Entre les premiers membres de ces équations existe l'identité fondamentale

27 Pi pi (Pl— p2)^ + (pl-f-p2)npl— ap2)Hp2— 2pi)^ = 4(pl— plP2-t-pi)^«

60. Nous remarquerons qu'un éJément (^) est défini sans ambiguïté par la condition que le rapport anharmonique (^xyzt) ait nne valeur donnée, (jk), {z) et {t) étant donnés.

En particulier le rapport — des coordonnées d'un élément (^)

est égal au rapport anharmonique (^0 0^ O2), où O désigne l'élément de coordonnées (i, i).

Il y a indétermination cependant si les trois éléments donnés coïncident, ou bien si [z) et [t) coïncident, avec [xyzt)^=^ i; ou bien si [y) et [t) coïncident, avec {xyzt) = 0; ou bien si [y) et [z) coïncident, avec [xyzt) = 00.

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