CHAPITRE IV. — LES RÉSULTANTS ET LES DISCRIMINANTS
x^{~^f. x'P'^'^-x^f^ . . . , ^'2'"^/, oc^\~^ g^ oc^\~^^x^g^ . . . , ^^rS qi-ii forment deux systèmes invariants, sont liées par nne relation linéaire. Le déterminant de leurs coefficients, c|ui est des degrés/?^ et/? par rapport aux (a) et aux {h) ne diffère donc du résultant cjue par un facteur numérique.
Supposons maintenant les deux formes / et g du même degré />; et écrivons-les de toutes les façons possibles sous la forme
p^ elp2 étant deux entiers positifs dont la somme est p + r.
Les p formes /i g2 — f2g\ ? de degré p — i , s'annulent en même temps, si f et g ont une racine commune, lorsque l'on prend pour (x) cette racine. Le déterminant des coefficients de ces formes, cjui est précisément du degré p par rapport aux (a) et aux (^), ne diffère donc du résultant que par un facteur numéri c[ u e .
Si les formes f et g n'étaient pas du même degré, si l'on avait p' <CP'^ par exemple, on pourrait encore appliquer le même procédé : on remplacerait g par gg' ^ g' étant une forme arbitraire de degré/? — p'] on formerait le résultant de /et de gg' comme nous venons de le dire, et on le débarrasserait du facteur étranger constitué par le résultant de /et de g'] on obtiendrait ainsi le résultant R de / et g. Le facteur étranger est facile à former si l'on choisit g' d'une façon convenable : si par exemple ^'^= {ocy)P''P' , le facteur étranger sera [ayr)P'~P' ] si, plus particulièrement, g z=. ^/p^'', le facteur étranger est ci^l~^^^' ,
Supposons encore/ et g du même degré, et rappelons-nous c[ue si alors/ et g ont une racine commune, cette racine est au moins double pour leur jacobien J (/ g)^ et par suite annule les deux dérivées partielles de ce jacobien.
Si alors on considère les ip — 2 formes de degré ip — 3
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il est visible que le déterminant de leurs coefficients ne différera du résultant T\ de / et g que par un facteur numérique.
On peut ramener le cas général où les formes ne sont pas de
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même degré à ce cas particulier, en raisonnant comme précédemment.
On pourrait encore, dans le cas général, écrire comme résultant le déterminant des coefficients des formes J, ^^^'~^/, • » • , ^^'-y, xP^^^ g^ . . ., x?~'^g^ de degré p -h p^ — 2, et en nombre p-^p'—i.
L'identité des différentes formes que nous venons de trouver pour le résultant est facile à vérifier directement.
66. Nous allons nous occuper maintenant de la détermination du nombre et du calcul des racines communes à deux formes / et g, lorsque leur résultant R est nul.
On peut partir de deux points de vue différents : on peul, en effet, chercher combien de racines de g appartiennent à /, ou combien de racines de / appartiennent à^-; mais on peut aussi chercher le nombre proprement dit des racines communes à/et à g^ c'est-à-dire encore le degré du plus grand commun diviseur de / et g. Dans le cas où les formes ont des racines multiples communes, il est clair que ces deux points de vue conduisent à des résultats différents. Si, en effet, {y) est une racine commune à/et à g, multiple des ordres q et c/ pour ces deux formes, parmi les racines de g appartenant à/, [y) compte q' fois; parmi les racines de /appartenant à g^ {y) compte q fois; parmi les racines communes à /et à g^ (y) compte un nombre de fois égal au plus petit des deux nombres q et q\
Cherchons d'abord combien de racines de g appartiennent à/ et calculons ces racines.
Remplaçons /par/-!- XA, X étant un paramètre arbitraire et /z une forme semblable à f ', h=^ c^p. Le résultant de f^Xh et de g sera
R' = R + X p^J^ DLR + l' p^^ D|,R ^ ...
Supposons que q racines de g soient (^^^^), (^^'0^ • • • (^^^0? appartiennent à/ et pas davantage; alors on a directement
On voit par suite que ce cas est caractérisé par ce fait que la po-
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