CHAPITRE IV. — LES RÉSULTANTS ET LES DISCRIMINANTS

laire D^^R est nulle identiquement pour k <Ccj^ c'est-à-clire que les dérivées partielles de l'ordre q — i de R par rapport aux (a) sont toutes nulles; en outre D^^R n'est pas nulle identiquement, et contient le facteur C(^b('))F • • • c^b^q))i>] il en est de même d'ailleurs de tous les coefficients des puissances de A dans R^ Ceci donne donc le moyen de calculer les racines de g qui appartiennent à/, puiscjue D^^^R est précisément de degré q par rapport aux (c). Si en particulier on prend h^={xy)P^ les (y) étant des variables quelconcjLies, l'invariant D^~' ^ exprime par son évanouissement identicjue que q racines au moins de g appartiennent à /; et l'invariant D^^^.R est à un facteur près Ja puissance jc>'""® du produit

(jè(i))(j/Z>t2)).. .(yb^^^).

On raisonnerait de même en renversant les rôles de /et g. Si les coefficients de / sont considérés comme des formes de même degré par rapport à des variables X^ , ).2, .. . )vo ^t si, lorsque entre ces variables existe l'unique relation irréductible cp(A,, Xo^ • • • ^vO =^ o? on suppose c[ue ^racines de g appartiennent k/\ il résulte de ce qui précède que le résultant R de/ et g contiendra le facteur q à la puissance q.

67. Cherchons maintenant à reconnaître le nombre des racines communes à/ et g et à les calculer.

Si les deux formes /et g ont au moins q racines communes, et seulement dans ce cas, on sait cjue l'on peut déterminer deux autres formes/ et g', respectivement des degrés />^ — q et p ^ q^ telles que l'on ait identiquement

ff-^- §-§'=-- o.

Ceci revient à dire c[u'il existe une relation linéaire entre les formes xP'~^f, œP'^^^' x,f, . . ., ^rV^ ^^"^ g^ -", ^^'^g, en nombre p -hp' — ^q + 2, et de degré p -^ p' — q] ces formes constituent deux systèmes invariants. Si alors on procède comme au n° 50, en adjoignant à ces formes les suivantes :

An. — I." 5

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h étant une forme arbitraire de degré/) -\- p^ — 2^ -h 2, le déterminant des coefficients des/>-f-/?' — q ~\- i formes ainsi obtenues sera un invariant de/*, g^ h, dont l'évanouissement sera une condition nécessaire et suffisante pour que/*et g aient au moins q racines communes. En particulier^ on peut prendre h ^==-- {xy)P'^P'~-^'^^j et l'on obtient un invariant de/*, ^- et des (y), soit R^, qu'il est inutile d'écrire : c'est un déterminant d'ordre p -^ p' — ^ -f- i, des degrés [q — ^){p ~T- p' — 2^+2),/^^ — q -{- i^ p — q ~V~ \ respectivement par rapport aux {y), aux (a) et aux (è). Pour ^=: i, R^ est le résultant de /et g^ tel que nous l'avons calculé au n° 65.

Supposons qu'il j ait précisément^ racines communes; alors, h étant arbitraire de degré /> -\- p' ~ iq^ les formes x^'~^~'^f^ . . . , x^-^i-'f, xP-'i'' g, ..., xP-'i-' g, x\-'h, .,., xl-'h, de degré p -\- p' — q — I j et en nombre p -^ p' ■ — q^ ne sont pas liées par une relation linéaire quand h reste quelconque; mais si h admet l'une des racines communes (c^^^), (c^^)^^ , ^ (c^^^) à /et à g^ une relation linéaire existe évidemment entre les formes considérées; le déterminant qui, égalé à zéro, exprime ce fait est donc divisible par h{c^^^) h{c^-^) . . . A(c^^^), et comme il est précisément de degré q par rapport aux coefficients de h, on a ainsi un moyen de calculer les racines communes à /et à g.

Si, en particulier, on prend h z=:(^xy)P'^P'~"^^ ^ le déterminant considéré es L R^+1 , et est à un facteur près la puissance {p +/>^ — 2 qY"^^^ du produit {yc^^^){j'C^-^) • • • (7<^^^0-

Ajoutons qu'il est facile d'exprimer R^ en fonction des racines de /ou g] on a sans peine par exemple, à un facteur près, la valeur

deR^

On pourrait encore remarquer que l'on peut toujours vérifier Videnlhé/f' -^r gg' -\- hli! r=. 0 oiif'y g' elh' sont des degrés/?^ — q^ p — q^q — i , et où /i est une forme arbitraire du degré/» -4- />' — 'iq-^-i . Si /et g onlq — i racines communes, l'équation A^^= o détermine ces racines, tandis que, si /et g ont au moins q racines communes, AVest nul identiquement. On définit ainsi de nouveaux invariants qui peuvent se ramener aux précédents : pour q r=i i ^ h' est précisément le résultant.

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