CHAPITRE IV. — LES RÉSULTANTS ET LES DISCRIMINANTS

D'après cette remarque, le discriminant du produit de deux formes est égal au produit de leurs discriminants multiplié par le carré de leur résultant. C'est ainsi que l'on voit que si dans S on fait cip 0=0, les termes restants ne diffèrent que par un facteur

numérique du produit de a^, , par le discriminant de '^ — ^•

Plus généralement, si cip^Q, ap^^^, cip^^.i-, • • • sont divisibles par X^', }/*^~^, X^~-, .... 1 étant un paramètre, le discriminant de/' sera divisible par a^'^^~i) : si, en effet, on considère \ comme un

infiniment petit, l'équation /-- o, en —, a k racines infiniment

petites de l'ordre de)^; et par suite II (a/ay)^ est divisible par l'^^'^""'^ Un même raisonnement peut servir dans les cas analogues.

. 71. Cherchons à déterminer le nombre et la nature des racines multiples de f lorsque son discriminant est nul, et à calculer ces racines.

Soit g une forme cjuelconque semblable à y, ^' ==: hxVi et À un paramètre arbitraire : le discriminant de/-l- l.g est

S'= s + X /rr=^ DA*S-H X'- ^^=^ DI,S -.. .;

S^ est aussi le résultant de formes y^ h- X^'i , f^-r~^^g2 qwe nous appellerons k^ et k^-

Considérons le résultant R^ des formes

Xi kl -+- ^2 /<^2 ~ / + >^^ §'^

il contient S' en facteur, et aussi le résultant R de f el g^ puisque si l'on a oOi k] H- x^k^^:=. o et k\g^ — k2g\ = o sans que ks et k^^ soient nuls, on a X\ g ^-{- x^g^^==^ g -^-o^ et par suite y==:o. En comparant les degrés par rapport aux coefficients, on voit que l'on peut écrire R^=:- /?zRS^, m étant numérique et indépendant de X. Cela étant, supposons que («^^^), {a^^^\ . . . (a^^^) soient communes respectivement^!, q^^ ... qt fois à y, etyo, et par suite soient racines multiples des degrés ^i + i, ^o-f- i; • • • pour f\ pour abréger, soit q-z:=. q^-\- q^-\~ . . . -h qi. Appelons aussi (c^^^), (c^^^), . . . (c^'^p-'^-^'i) les autres racines de J(y, g). On a

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et le coefficient de 1^/ n'est pas nul dans cette expression, si g reste arbitraire; si en effet a^^c^^))P par exemple était nul^ on aurait pour les {x) égaux aux (c^^^), à la fois

ooxfi + ^2/2 = 0, /i ^2-/2 g\ ^ o,

sans que f\ et fo fussent nuls; par suite, on aurait aussi x^ gi + X2g2 =^ g = o, ce qui est inadmissible.

Donc, f\ et f.^ ayant q racines communes, distinctes ou non, on voit d'abord que R^ et par suite S' contient X^ en facteur, sans que le coefficient de \^ soit nul : les dérivées partielles de l'ordre q — i de S par rapport aux (a) sont donc toutes nulles, et D^^ S n'est pas nul identiquement.

Remarquons maintenant que si l'on pose

le coefficieut de \^ dans R^ est égal au produit du résultant de g et (]; et du résultant de / et cp. Remplaçons alors g par g -h [^^A, h étant une forme semblable à /*, et |j- un nouveau paramètre arbitraire, et supposons que g admette la racine (ci^^^) par exemple. Si R^^ désigne ce que devient R^ dans ce cas, R^' est divisible par À^, et le coefficient de X^ est le produit du résultant de g + Il h et de A par le résultant de f el de cp^, cp^ désignant ce que devient cp. Le résultant de g -r^ [jlA et de A contient en facteur uL^i; le résultant de /et o' contient de même [ji'?i+^ en facteur, puisque / admet q\-\r i fois la racine (a^^^)^ que o admet cette même racine au moins une fois dans notre hypothèse (46), enfin

que cp^ se développe sous la forme cp -|- jxcp^ -j- Le coefficient

de X^ dans R'^ contient donc •Ji-^/i+' en facteur; le résultant àe f et de g-}- y. h contient d'ailleurs [Ji'/i+* en facteur; donc finalement le discriminant S'^ de f^r'^^(g -\- [^h) contient l^jx^i en facteur. D'après cela, les polaires D^^^(D^^S), qui sont les coefficients des termes À^[x^ dans S'^, les (c) étant les coefficients de A, sont toutes nulles pour k <i q^^ dans l'hypothèse faite, et par suite D^^S contient le facteur bll{,)y. Comme D^^^S est de degré q par rapport aux(è), cette quantité est donc égale, à un facteur près indépendant des (6), au produit ^fj(i),,; ^[^'(2),/; ....

On a ainsi le moyen de calculer les racines multiples de /. Si, en

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