La forme bilinéaire

f{^^y)= Ctxy-=^ Ct\\OGiyi^ «12^272 -^ «21^27lH- «22^2j2,

l'écriture des coefficients étant simplifiée, comme nous le ferons toujours dans l'étude des formes particulières, offre cet intérêt particulier que ses propriétés sont celles de l'homographie. Si, en effet, on a/=o, on peut écrire

Xy X=i

et si le déterminant y = 6^^^a22 — <^*^i2<^2i n'est pas nul, on définit ainsi une homographie entre les éléments (x) et les éléments (y)- Si l'on a y = o, nous dirons encore qu'il y a homographie, mais cette homographie sera singulière ; ses propriétés sont les suivantes : si A est l'élément [x) de coordonnées ( — 6^21 ? <^n ) ou ( — ^22? ctx^)^ et si B est l'élément [y) de coordonnées ( — 0.22^ cl^k ) ou ( — 6^12, ^<^n), à tout élément (y) autre que B correspond toujours A, et à B correspondent tous les éléments (^); à tout élément (^) autre que A correspond B, et à A correspondent tous les éléments (j)^).

Si les espaces X et Y remplis par les (^) et les (j/) sont distincts, les invariants multiples de /', des (^) et des (y) sont seuls intéressants : il est visible qu'il n'y en a pas d'autres que /et y, de signification évidente. On peut alors, siy n'est pas nul, ramener/ à la forme canonique simple

et cela d'une infinité de façons. Si j est nul, / peut se ramener à la forme

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