CHAPITRE V. — LA FORME BILINÉAIRE

74. Nous allons nous attacher au cas particulièrement intéressant où l'on suppose les séries X et Y coïncidantes, et rapportées aux mêmes coordonnées, ce qui ne diminue pas la généralité; nous étudierons alors le système formé par /, les (x) et les (y).

Nous avons d'abord, outre / et (^y), l'invariant ^=: /(y, x), que l'on déduit de / en permutant les (x) et les (y). g=:o est l'équation de (x) de Y correspondant à (y) de X.

Nous avons aussi les invariants h^=/(x, x), k=if(y^ y)] égalés à zéro, ils définissent les éléments qui, considérés comme appartenant à X ou à Y, coïncident avec leurs correspondants. Les identités

fg — hk = — (aii6-/22 — «l2«2l)(^7)" nous conduisent encore aux invariants proprement dits

i = 6^12 '^Slî J ^^ ^^11 ^22 — ^12 <^21'

Les invariants/, gy A, k sont d'ordre zéro; {xy)^ ^ ^^ j sont respectivement des ordres — i, i et 2.

Ces sept invariants, dont cinq seulement sont indépendants, forment un système complet.

Gomme on le voit, la forme / seule, qui ne dépend que de quatre coefficients, admet cependant deux invariants distincts ^ ety ,

et par suite un invariant absolu géométrique — ; c'est là un fait

exceptionnel.

La signification de z: = o est facile à trouver : en effet, pour f=io, on a /=r ^, et réciproquement; par suite, {y) a toujours même correspondant, qu'il soit considéré comme appartenant à X ou à Y, et ceci n'a Jieu que dans ce cas; on dit qu'il y a iiwolutioii.

h et k sont des formes nulles identiquement, si / se réduit à (^Jk) ; alors les séries X et Y sont confondues : c'est un cas que nous pouvons écarter.

73. On peut retrouver les résultats précédents en cherchant directement les éléments doubles, c'est-à-dire ceux qui coïncident avec leurs correspondants, qu'on les considère comme appartenant à X ou à Y.

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yS LIVRE I. — LA GEOMETRIE BINAIRE.

Il faut en effet, pour trouver de tels éléments, résoudre les équations

a^l^i— ^22^2 cillai -i- ai2^2

ce qui conduit aux équations nouvelles, en appelant - la valeur commune de ces rapports,

avec