CHAPITRE I. — INVARIANTS DES SYSTEMES BINAIRES. d

faisceau linéaire ponctuel ou langentiel de courbes planes ou de surfaces, etc.

3. Une forme linéaire par rapport aux variables ^i et ^2? dont nous désignerons Fensemble par (^), est ^{^1 + ^2^2) ou, pour abréger, (^|^); égalée à zéro, elle définit un élément particulier dont les coordonnées sont — .0^2, + p^i? et réciproquement. Par suite, on peut encore déterminer les éléments (^) à l'aide de nouvelles coordonnées (^), sous la condition (^|^)r=:o, caries quantités '^i et ^2 sont soumises aux restrictions imposées à x^ et ^2- Pour un élément donné (^), les (^) seront les coordonnées de première espèce ^ tandis que les coefficients (^) de la forme linéaire qui, égalée à zéro, définit cet élément, en seront les coordonnées de seconde espèce.

^1^^ + ^2^2 = 0, où l'on regarde les [x) comme inconnues, est V équation de l'élément ainsi défini, de coordonnées de seconde espèce {\), Les éléments fondamentaux O, et O2 ont respectivement pour équations ^2= o, X\ = o.

On voit tout de suite que les (x) jouent, par rapport aux (i), le même rôle que ceux-ci par rapport aux (^), de sorte que (^ I ^) =: o, où les (^) sont regardées comme inconnues, est encore l'éqaation de l'élément [x) : les équations ainsi entendues de O^ et O2 sont il = o et ^2= o.

Dans tout ce qui suit, les lettres latines et grecques seront affectées respectivement aux coordonnées de première et de seconde espèce.

On remarquera que l'introduction des variables de seconde espèce n'est pas indispensable en Géométrie binaire; mais elle permet d'étendre plus facilement les définitions et les résultats de cette Géométrie aux autres Géométries.

4. Une forme binaire est un polynôme entier et homogène séparément par rapport à diverses séries de variables de première ou de seconde espèce. Si/est une telle forme, des degrés/?, ^, ..., 7c, 0, ... respectivement par rapport aux variables (^), {y), . . . , (?)? ("l)? • • •? nous écrirons

2Py;P^ . . . 1 ';T;Pp . . .

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P\j Pi-) pai" exemple, désignent deux entiers non négatifs dont la somme est/) ; P;;^ désigne le produit i . 2 . 3 . . . m, ou l'unité quand m est nul.

Les quantités cip^jy^.^ sont les coefficients de la forme; dans leur ensemble, nous les désignerons par (a).

Une forme égalée à zéro établit une relation entre les éléments variables dont elle contient les coordonnées; si, en particulier, elle ne contient qu'une seule série de variables, elle définit, dans le même cas, p éléments déterminés, si elle est d'ordre p. Une telle forme est déterminée, à un facteur près, par la condition de représenter, quand on l'égale à zéro, p éléments donnés, puisqu'elle contient/? + i coefficients.

Deux formes sont semblables si elles contiennent les mêmes variables aux mêmes degrés; elles sont équivalentes au point de vue géométrique si les rapports des coefficients entre eux sont les mêmes.

5. Un système binaire est un ensemble quelconque de formes binaires et de variables binaires, c'est-à-dire de variables telles que les (^), (j^), . ►., (i), (t)), . . ., ces variables pouvant d'ail- Jeurs figurer ou ne pas figurer en tout ou en partie dans les formes. Les éléments qui constituent véritablement le système sont, avec les variables isolées, les coefficients des formes : les autres variables qui peuvent figurer dans ces formes ne jouent qu'un rôle analogue à celui de la variable d'intégration dans une intégrale définie.

6. Soit un coeffiicient de forme tel que <r/^j,p.,;^^,^,;...;TT„7i„;pi,p,;... • le poids de ce coefficient par rapport à l'indice i est la somme

Le poids d'une variable de première espèce Xj par rapport à l'indice i est — I si iz=zj\ o dans le cas contraire; le poids d'une variable de seconde espèce ^j par rapport à l'indice i est + i si i^=^j-, o dans le cas contraire. Le poids d'un monôme, produit de coefficients et de variables, par rapport à Findice i est la somme des poids de ses facteurs par rapport au même indice. Une fonction entière, dont tous les termes sont de même poids

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