CHAPITRE VI. - LES SYSTEMES QUADRATIQUES

volt que J =r o représente les éléments doubles de l'involution définie par les deux couples /=: o, g- =: o.

Un couple quelconque de cette involution est représenté par une équation telle que a,/H-).2^=o, et réciproquement. En effet, si les éléments définis par trois formes quadratiques/, g^ h sont les couples d'une même involution dont les éléments doubles sont définis par /i=: o, on a

J2(/, k)= O, }Hg, k) = o, J2(/Z, k) == O,

et l'on en déduit immédiatement que le déterminant des coefficients de / g^ h est nul, c'est-à-dire que ces formes sont liées par une relation linéaire.

LiQ faisceau de formes )h/+ ^^2^' correspond donc à une involution ; Fétude directe de ce faisceau permet de retrouver quelquesuns des résultats précédents. En effet, l'invariant de )M/+^^2g' est Xi[D + Xj^atl H-X^^^, et l'on en conclut l'invariant H; si le déterminant ainsi formé est nul, \^f -\-\2g est un carré parfait et représente l'un des éléments doubles de l'involution; éliminant les (à) entre les relations

Af D -4-XiX2H-}-X|D'== o, le résultant

ne doit donc différer de J^ que par un facteur numérique, et en effet c'est — J-.

83. Si J n'est pas nul identiquement, et si R = o, /et g ajant une racine commune et une seule peuvent être ramenées à la forme canonique simultanée

que l'on peut encore simplifier, suivant les circonstances.

Dans le cas général où l'on a R ^ o, prenons pour éléments fondamentaux nouveaux, O', et O!,, les deux éléments distincts définis par J = o ; alors / et g deviendront

/ — Cv Q X i"' 1 Cv i) X i)'' ^

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86 LIVRE ï. — LA. GÉOMÉTRIE BINAIRE.

et l'on aura pour les invariants D, D^, H, R^ J les valeurs

Voici comment on peut exécuter la réduction de/ et g à ces formes canoniques. On a

J^.J^..^ Jxr-+-(^7)l/— y J^y— (^7)

les {y) étant des indéterminées. Posons

le déterminant de la substitution ainsi définie pour passer des (^) aux {x^) est — •; écrivant alors que D, D', H,/, ^', J sont des

invariants, on a D

RJ>

^'o ^2 = — l^YY ' ^0 ^2 -^ «2 ^'o == — ITTT ^

jt\Jy-2 r\Jy2

les deux, premières relations' de la dernière ligne résultant de ce que l'on a fait les [x) égaux aux (7). On a par suite, sans ambiguïté,

aJji/ — R