CHAPITRE VII. — FORMES CANONIQUES, FORME CUBIQUE, ETC. ICI

on a aussi, comme au ii° 88,

Pl-HP2=p', . pi— 2p.2=p", P2— 2pi=p'",

pf— P1P2H-P|= — ~ [(pi-i-p2)(Pl — 2p2)+(pl-|-p2)(P2--2pO

-l-(pi— 2p2)(p2 — 2pi)] = - - 2p"p'"=.I2^;

(Pl+ p2)(pl— 2p2)(p2--2pi)= p'p"p'"== —4337.

L'équation cherchée est donc

(pi-^-p2)H-pi-^p2)-^p2 — apQ^ ^ 4(pi--pip2+pl)^ .

une identité connue donne aussi par suite

Pfpl(pi"p2r-=n(aU)a(2))2^^56(,'3 2.y2^,

de sorte que le discriminant de /"est, à un facteur près, l'invariant i^ — ^.'jj^; c'est aussi le discriminant de la canonisante. Sur la forme canonique, la valeur de cet invariant est

i = o ety =0 sont respectivement les conditions pour que les quatre racines de /forment une proportion équianharmonique ou harmonique. Le rapport anharmonicjue des quatre racines de / dépend de l'invariant absolu géométrique k.

98. La forme canonique que nous avons employée est réalisable de trois façons différentes cpiand i^ — ■ ayy'^ n'est pas nul, puisque alors l'équation canonisante a, comme/, ses racines distinctes. En même temps, toutes les formes du faisceau )^iy/4-)^2^H sont réduites à la forme canonique.

Voici les divers cas particuliers possibles :

T° Si / a une racine quadruple, H est nul identiquement, et réciproquement; tous les autres invariants sont aussi nuls. La forme canonique de /est a'^x'^* .

2° Si / a une racine triple, on peut lui donner la forme canonique

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alors on a

réciproquement, ce cas est caractérisé par les conditions i =J = o. 3° Si y a deux racines doubles distinctes^ c'est-à-dire est un carré parfait, on peut écrire par exemple

alors

l — 0 Cv q » / — Ci 2 j Jj. — J ci' 9"' eu A UC 2 j J — O ^

et, par suite,

,•3 „ 27/2 ^ o, 3,//- 2 ai - o, .2/- iSy H - o ;

réciproquement, ^ et j n'étant pas nuls, ce cas est caractérisé par l'évanouissement identique de J, ou de Zjf — 2iH, ou de i-f — iSy'H; la condition la plus simple à employer est

4"^ Si /a une racine double unique, on a simplement

on peut employer la forme canonique ordinaire, possible d'une seule façon, avec a'^^ = o.

On retrouvera les résultats précédents en appliquant ce que nous avons dit sur les racines multiples d'une forme en général.

99. Voici comment on peut, dans le cas général, exécuter la réduction à la forme canonique qui correspond à une racine )/ de l'équalion canonisante. Pour cette forme canonique, V devient — aa^, et l'on a

2H'— 2^2/'=: i(^o!^o!r,-~^aJi)x'ix'^'\

donc la forme 2H + V/ est, ainsi que nous l'avons déjà fait remarquer, un carré parfait; et d'ailleurs cette forme et les deux analogues sont les seules formes du faisceau X^y/+)^2^H qui jouissent de cette propriété. Nous écrirons

x\ et x\^ sont les facteurs linéaires de h^ . Introduisons alors les

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